高等數學

本書突出學習二元函數微積分這一人類自然學科的精華思想，旨在加強和突出微積分的應用實踐能力的培養.其他內容如常微分方程、向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分、無窮級數、線性代數、拉普拉斯變換、概率統計、數理邏輯與圖論，不同的專業有不同的需求，這部分內容可作為專業模塊，供不同專業選用.如機械類專業可選擇向量代數與空間解析幾何、多元函數微積分；電類專業可選擇線性代數、級數、拉普拉斯變換；計算機專業可選擇線性代數、數理邏輯與圖論；經濟管理類專業可選擇線性代數、概率統計等. ^[1] 

第1章函數極限連續1

11函數1

111函數的概念1

112函數的幾種特性4

113反函數5

114初等函數7

115建立函數關係式舉例12

12極限的概念14

121數列及數列的極限14

122函數的極限15

13無窮小量與無窮大量19

131無窮小量19

132無窮大量20

133無窮小量的比較21

14極限的四則運算法則22

15兩個重要極限26

151極限存在的準則26

152兩個重要極限26

16函數的連續性29

161函數連續性的概念29

162函數的間斷點31

163初等函數的連續性32

164閉區間上連續函數的性質33

複習題135

第2章導數與微分38

21導數的概念38

211引例38

212導數的概念39

213求導舉例40

214導數的幾何意義41

215可導與連續的關係42

22函數的求導法則43

221函數的和、差、積、商的求導法則43

222反函數的求導法則44

223複合函數的求導法則45

224初等函數的導數46

23高階導數47

24隱函數及參數方程所確定的函數的求導法相關變化率48

241隱函數的求導法48

242對數求導法50

243由參數方程所確定的函數的求導法50

244相關變化率51

25函數的微分53

251微分的定義53

252微分的幾何意義54

253基本初等函數的微分公式和微分運算法則55

254微分在近似計算中的應用55

複習題257

第3章導數的應用59

31微分中值定理59

311羅爾定理59

312拉格朗日中值定理59

32洛必達法則61

32100型未定式61

322∞∞型未定式62

3230·∞、∞-∞型未定式63

32400、1∞、∞0型未定式63

33函數的單調性與極值64

331f′(x)與函數的單調性64

332f′(x)與函數的極值66

34曲線的凹凸性與拐點68

35函數圖形的描繪69

351曲線的漸近線69

352函數圖形的繪製70

36導數的實際應用72

361相關變化率問題72

362最大最小值問題75

363導數在經濟學中的簡單應用77

複習題380

第4章不定積分83

41不定積分的概念與性質83

411原函數與不定積分的概念83

412不定積分的性質85

413基本積分公式表85

414不定積分的兩個基本運算法則86 ^[1] 

415直接積分法86

42換元積分法88

421第一類換元積分法(湊微分法)88

422第二類換元積分法91

43分部積分法94

複習題497

第5章定積分及其應用99

51定積分的概念99

511三個引例99

512定積分的定義101

513定積分的幾何意義102

52定積分的性質104

53微積分基本公式107

531變上限的積分函數及其性質107

532微積分基本公式109

54定積分的積分法111

541定積分的換元積分法111

542定積分的分部積分法113

55廣義積分115

551無窮區間上的廣義積分116

552無界函數的廣義積分117

56定積分的應用118

561微元分析法118

562定積分在幾何上的應用119

563定積分在物理學中的簡單應用125

564定積分在經濟學中的簡單應用126

複習題5131

第6章常微分方程133

61微分方程的基本概念133

62一階微分方程135

621可分離變量的微分方程135

622齊次方程137

623一階線性微分方程138

624一階微分方程應用140

63可降階的高階微分方程142

631y(n)=f(x)型的微分方程142

632y″=f(x，y′)型的微分方程142

633y″=f(y，y′)型的微分方程143

64二階線性微分方程145

641二階線性微分方程解的結構145

642二階常係數齊次線性微分方程146

643二階常係數線性非齊次微分

方程148

複習題6152

第7章級數154

71常數項級數154

711常數項級數的基本概念154

712常數項級數的基本性質155

72常數項級數的審斂法157

721正項級數及其審斂法157

722交錯級數及其審斂法159

723絕對收斂與條件收斂160

73冪級數161

731函數項級數的概念161

732冪級數及其收斂域162

733冪級數的性質164

74函數的冪級數展開166

741泰勒公式與泰勒級數166

742函數展開成冪級數167

75傅里葉級數170

751三角函數系的正交性171

752週期為2π的函數展開成傅里葉級數171

753正弦級數和餘弦級數174

754以2l為週期的函數展開成傅里葉級數176

複習題7177

第8章向量與空間解析幾何180

81向量及其線性運算180

811向量的概念180

812向量的線性運算180

82空間直角座標系182

821空間直角座標系的概念182

822向量的座標表示184

823利用座標作向量的線性運算184

824向量的模、方向角、投影185

83向量的數量積與向量積188

831向量的數量積188

832向量的向量積189

84平面及其方程190

841平面的方程190

842點到平面的距離公式192

843兩平面的夾角192

85空間直線及其方程193 ^[1] 

851空間直線的方程193

852兩直線的夾角195

853直線與平面的夾角195

86曲面方程與曲線方程196

861曲面方程的概念196

862旋轉曲面198

863柱面198

864二次曲面199

865空間曲線及其方程201

複習題8203

第9章多元函數微分學205

91多元函數的基本概念205

911二元函數的概念205

912二元函數的極限206

913二元函數的連續性207

92偏導數209

921二元函數偏導數的概念209

922高階偏導數210

923全微分211

93複合函數和隱函數的偏導數213

931複合函數的偏導數213

932隱函數的偏導數214

94偏導數的應用216

941二元函數的極值和最值216

942偏導數的幾何應用218

複習題9220

第10章多元函數積分學223

101二重積分的概念與性質223

1011兩個實例223

1012二重積分的定義224

1013二重積分的幾何意義225

1014二重積分的性質225

102二重積分的計算226

1021二重積分在直角座標系下的計算226

1022二重積分在極座標系下的計算231

103二重積分的簡單應用234

1031二重積分的幾何應用234

1032二重積分的物理應用237

複習題10240

第11章線性代數初步242

111二階行列式、三階行列式242

1111二階行列式242

1112三階行列式243

1113三階行列式按行(列)展開245

112n階行列式246

1121n階行列式的定義246

1122n階行列式的性質247

1123n階行列式的計算251

113克萊姆法則254

1131克萊姆法則254

1132運用克萊姆法則討論齊次線性方程組的解255

114矩陣的概念和矩陣的運算256

1141矩陣的概念257

1142矩陣的運算258

1143線性方程組的矩陣表示法261

115逆矩陣263

1151逆矩陣的定義263

1152逆矩陣的求法263

1153逆矩陣的性質264

1154用逆矩陣解矩陣方程265

116矩陣的初等變換與矩陣的秩266

1161矩陣的初等變換266

1162用初等行變換求逆矩陣267

1163矩陣的秩267

1164用初等變換求矩陣的秩268

117一般線性方程組解的討論271

1171一般線性方程組271

1172 高斯消元法272

1173線性方程組的相容性定理274

1174線性方程組的通解276

複習題11279

第12章概率論與數理統計初步282

121隨機事件與概率282

1211隨機事件282

1212隨機事件的概率283

1213條件概率284

122隨機變量及其分佈288

1221隨機變量288

1222隨機變量的分佈函數290 ^[1] 

1223幾種常見的隨機變量分佈292

123隨機變量的數字特徵296

1231數學期望296

1232方差與標準差297

124統計量及其抽樣分佈300

1241總體和樣本300

1242常用統計量的分佈301

1243參數估計303

1244假設檢驗305

複習題12309

第13章拉普拉斯變換311

131拉普拉斯變換的概念和性質311

1311拉普拉斯變換的概念311

1312拉普拉斯變換的性質312

1313常見函數拉普拉斯變換314

132拉普拉斯逆變換315

1321直接用公式求拉氏逆變換315

1322用性質求拉氏逆變換316

133拉普拉斯變換的應用317

複習題13319

第14章數理邏輯與圖論基礎321

141命題邏輯的基本概念321

1411 命題與真值表 321

1412命題公式及其賦值324

1413等值演算325

1414析取範式326

142圖的基本概念329

1421圖的基本概念329

1422圖的通路與連通性331

143圖的矩陣表示332

1431鄰接矩陣的概念333

1432圖的關聯矩陣 334

複習題14336

第15章科學計算337

151MATLAB基本操作337

1511安裝337

1512運行337

1513界面菜單欄説明337

1514基本運算與常用函數338

1515簡單符號運算339

152二維繪圖340

1521基本命令340

1522圖形控制與修飾341

153一元函數微積分343

1531一元函數的極限343

1532 一元函數的導數343

1533有約束的一元函數的最小值344

1534函數的積分345

154多元函數微積分346

1541偏導數346

1542 二重積分346

1543多元函數求最值347

155常微分方程的符號解349

156級數350

1561級數求和350

1562泰勒級數展開350

157矩陣運算及線性方程組求解351

1571矩陣運算351

1572非齊次線性方程組唯一解情形(求逆法)352

1573非齊次線性方程組無窮多組解情形(最簡矩陣法)352

158概率論與數理統計353

1581求期望與方差353

1582正態分佈參數估計與置信區間估計353

1583單個總體N(μ,σ2)均值μ假設檢驗354

159拉普拉斯變換355

1591拉普拉斯變換355

1592拉普拉斯逆變換355

複習題15356

附錄359

附表Ⅰ泊松分佈表359

附表Ⅱ標準正態分佈表360

附表Ⅲχ2分佈表361

附表Ⅳt分佈表362

習題答案363

參考文獻386 ^[1]