高等數學

本書共分十二章，主要內容包括函數、極限、連續，導數與微分，導數的應用，不定積分，定積分，定積分的應用，向量代數與空間解析幾何，多元函數微分學，二重積分，曲線積分與曲面積分，無窮級數、微分方程。書後附有習題答案與提示。本書特別注重培養學生用數學概念、思想、方法消化吸收各種典型的習題和證明題。

本書可作為高職高專院校理工類高等數學通用教材，也可供工科類相關專業專升本輔導教材。 ^[1] 

第一章函數、極限、連續1

第一節集合與函數1

一、集合、區間、鄰域1

二、函數的概念3

三、函數的性質5

四、初等函數的概念與應用7

五、函數的應用11

第二節極限14

一、數列的極限14

二、函數的極限15

三、極限的性質18

四、無窮小量與無窮大量18

第三節極限的運算20

一、極限的兩個常用公式20

二、極限的運算法則21

第四節無窮小的性質及應用25

一、極限與無窮小之間的關係25

二、無窮小的運算性質25

三、無窮小的比較26

第五節函數的連續性27

一、連續函數的概念27

二、函數的間斷點及其類型29

三、連續函數的基本性質30

四、閉區間上連續函數的性質31

本章小結33

複習題一34

第二章導數與微分37

第一節導數的概念37

一、導數的定義37

二、左導數和右導數39

三、求導數的步驟39

四、導數的幾何意義40

五、可導與連續的關係 41

六、導數的應用42

第二節導數的運算43

一、基本初等函數的導數公式43

二、導數的四則運算法則44

三、複合函數的求導法則45

四、高階導數47

第三節隱函數及參數方程所確定的函數的導數50

一、隱函數求導法50

二、由參數方程所確定的函數的求導法52

第四節微分及其計算53

一、微分的概念53

二、微分的幾何意義54

三、微分的公式與運算法則54

四、微分在近似計算中的應用56

本章小結58

複習題二60

第三章導數的應用63

第一節 微分中值定理及其應用63

一、微分的中值定理63

二、洛必達法則65

第二節函數的單調性及其極值68

一、函數單調性的判定68

二、一元函數的極值及求法70

第三節最大值與最小值及其應用73

一、最大值和最小值的求法73

二、極值在經濟中的應用75

第四節曲線的凹凸與拐點、函數圖形的描繪77

一、曲線的凹凸與拐點 77

二、函數圖形的描繪79

本章小結82

複習題三83

第四章不定積分85

第一節不定積分的概念85

一、原函數與不定積分85

二、不定積分與導數或微分的關係87

三、基本積分公式87

四、不定積分的運算性質和計算89

五、不定積分的幾何意義90

第二節換元積分法92

一、第一類換元積分法（湊微分法）92

二、第二類換元積分法95

第三節分部積分法100

本章小結103

複習題四104

第五章定積分106

第一節定積分的概念和性質106

一、定積分的概念106

二、定積分的幾何意義109

三、定積分的性質110

第二節微積分的基本公式113

一、變上限積分113

二、牛頓萊布尼茨公式115

第三節定積分的換元法與分部積分法117

一、定積分的換元積分法117

二、定積分的分部積分法120

第四節廣義積分123

一、無窮區間的廣義積分123

二、無界函數的廣義積分125

本章小結127

複習題五128

第六章定積分的應用131

第一節定積分的微元法131

第二節定積分的幾何應用132

一、平面圖形的面積132

二、立體的體積136

三、平面曲線的弧長138

*第三節定積分在物理方面的應用140

一、引力140

二、變力做的功141

三、液體的壓力142

四、平均值142

第四節定積分在經濟中的應用144

本章小結145

複習題六146

第七章向量代數與空間解析幾何148

第一節空間直角座標系和向量的基本知識148

一、空間直角座標系148

二、空間兩點間的距離公式149

三、向量的概念及其座標表示法150

第二節向量的數量積與向量積155

一、向量的數量積155

二、向量的向量積156

第三節空間的平面方程159

一、平面的點法式方程159

二、平面的一般方程160

三、兩平面的夾角161

第四節空間直線的方程162

一、空間直線的點向式方程和參數方程162

二、空間直線的一般方程164

三、空間兩直線的夾角164

第五節二次曲面與空間曲線167

一、曲面方程的概念167

二、常見的二次曲面及其方程167

三、空間曲線的方程169

四、空間曲線在座標面上的投影171

本章小結172

複習題七173

第八章多元函數微分學176

第一節二元函數的概念、極限、連續176

一、二元函數的概念176

二、二元函數的極限179

三、二元函數的連續性180

第二節 偏導數181

一、偏導數的概念及其運算181

二、高階偏導數184

第三節全微分及其應用186

一、全微分的概念186

二、全微分的應用187

第四節多元複合函數與隱函數的微分法189

一、多元複合函數的求導法則189

二、隱函數的求導公式192

第五節偏導數的應用195

一、偏導數的幾何應用195

二、二元函數的極值197

三、二元函數的最值200

四、條件極值201

本章小結202

複習題八204

第九章 二重積分208

第一節二重積分的概念與性質208

一、二重積分的概念208

二、 二重積分的性質210

第二節二重積分的計算方法211

一、直角座標系中的累次積分法212

二、極座標系中的累次積分法216

第三節二重積分的應用220

一、幾何上的應用220

*二、物理上的應用221

本章小結224

複習題九224

*第十章曲線積分226

第一節對弧長的曲線積分226

一、對弧長曲線積分的概念226

二、對弧長的曲線積分的計算法227

第二節對座標的曲線積分228

一、對座標的曲線積分的概念228

二、對座標的曲線積分的計算法231

三、兩類曲線積分間的聯繫233

第三節格林公式、平面上曲線積分與路徑無關的條件234

一、格林（Green）公式234

二、平面上曲線積分與路徑無關的條件236

本章小結240

複習題十241

第十一章無窮級數243

第一節數項級數的概念及其基本性質243

一、數項級數的概念243

二、數項級數的基本性質245

第二節數項級數的審斂法 247

一、正項級數及其審斂法247

二、交錯級數及其審斂法251

三、任意項級數的斂散性252

第三節冪級數254

一、函數項級數的概念254

二、冪級數及其收斂性255

三、冪級數的運算257

第四節函數的冪級數展開259

一、泰勒級數和麥克勞林級數259

二、函數展開成冪級數的方法260

第五節冪級數在近似計算上的應用264

一、函數值的近似計算264

二、用冪級數表示函數265

本章小結265

複習題十一267

第十二章微分方程270

第一節一階微分方程270

一、微分方程的概念 270

二、可分離變量的微分方程271

三、一階線性微分方程273

第二節可降階的二階微分方程277

一、y″=f(x)型的微分方程277

二、y″=f(x,y′)型的微分方程278

三、y″=f(y,y′)型的微分方程279

第三節二階常係數的線性微分方程280

一、二階線性微分方程解的結構280

二、二階常係數齊次線性方程的解法282

三、二階常係數非齊次線性方程的解法283

本章小結286

複習題十二287

習題參考答案289

參考文獻321 ^[1]