高等數學

本書分上、下兩冊。上冊包括函數、極限與連續、一元函數微分學、一元函數積分學及微分方程，下冊包括空間解析幾何與向量代數、多元函數微分學、多元函數積分學、無窮級數。每節之後配有習題，每章後配有自測題，書後附有部分習題答案與提示、幾種常用的曲線。

前言

第1章　函數與極限

1.1　函數

1.1.1　集合

1.1.2　映射

1.1.3　函數

習題1.1

1.2　數列的極限

1.2.1　數列

1.2.2　數列的極限

1.2.3　收斂數列的性質

習題1.2

1.3　函數的極限

1.3.1　自變量趨於無窮大時函數的極限

1.3.2　自變量趨於有限值時函數的極限

1.3.3　函數極限的性質

習題1.3

1.4　無窮小與無窮大

1.4.1　無窮小

1.4.2　無窮大

習題1.4

1.5　極限的運算法則

1.5.1　極限的四則運算法則

1.5.2　複合函數的極限運算法則

習題1.5

1.6　極限存在準則　兩個重要極限

1.6.1　夾逼準則

1.6.2　單調有界收斂準則

習題1.6

1.7　無窮小的比較

習題1.7

1.8　函數的連續性與間斷點

1.8.1　函數的連續性

1.8.2　函數的間斷點及分類

習題1.8

1.9　連續函數的運算與初等函數的連續性

1.9.1　連續函數的和、差、積及商的連續性

1.9.2　反函數與複合函數的連續性

1.9.3　初等函數的連續性

習題1.9

1.10　閉區間上連續函數的性質

習題1.10

第1章自測題

第2章　導數與微分

2.1　導數概念

2.1.1　問題的提出

2.1.2　導數的定義

2.1.3　求導數舉例

2.1.4　導數的幾何意義

2.1.5　函數的可導性與連續性的關係

習題2.1

2.2　函數的求導法則

2.2.1　導數的四則運算法則

2.2.2　反函數的求導法則

2.2.3　複合函數的求導法則

2.2.4　初等函數的求導問題

習題2.2

2.3　高階導數

2.3.1　高階導數的定義

2.3.2　高階導數的運算法則

習題2.3

2.4　隱函數的導數　由參數方程所確定的函數的導數

2.4.1　隱函數的導數

2.4.2　由參數方程所確定的函數的導數

習題2.4

2.5　函數的微分

2.5.1　微分的概念

2.5.2　基本初等函數的微分公式與微分運算法則

2.5.3　微分在近似計算中的應用

習題2.5

第2章自測題

第3章　微分中值定理

3.1　微分中值定理

3.1.1　羅爾定理

3.1.2　拉格朗日中值定理

3.1.3　柯西中值定理

習題3.1

3.2　洛必達法則

習題3.2

3.3　泰勒公式

習題3.3

3.4　函數的單調性與曲線的凹凸性

3.4.1　函數單調性的判定

3.4.2　曲線的凹凸性與拐點

習題3.4

3.5　函數的極值與最值

3.5.1　函數的極值及其求法

3.5.2　最大值最小值問題

習題3.5

3.6　函數圖形的描繪

習題3.6

3.7　曲率

3.7.1　弧微分

3.7.2　曲率

3.7.3　曲率圓與曲率半徑

習題3.7

第3章自測題

第4章　不定積分

4.1　不定積分的概念與性質

4.1.1　原函數與不定積分的概念

4.1.2　基本積分表

4.1.3　不定積分的性質

習題4.1

4.2　換元積分法

4.2.1　第一類換元積分法

4.2.2　第二類換元積分法

習題4.2

4.3　分部積分法

習題4.3

4.4　有理函數的積分

4.4.1　真分式的分解

4.4.2　部分分式的積分

4.4.3　可化為有理函數的積分舉例

習題4.4

第5章　定積分

5.1　定積分概念

5.1.1　定積分問題舉例

5.1.2　定積分定義

5.1.3　定積分的性質

習題5.1

5.2　微積分基本公式

5.2.1　變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯繫

5.2.2　積分上限函數及其導數

5.2.3　牛頓-萊布尼茨公式

習題5.2

5.3　定積分的換元法和分部積分法

5.3.1　換元積分法

5.3.2　分部積分法

習題5.3

5.4　反常積分

5.4.1　無窮限的反常積分

5.4.2　無界函數的反常積分

習題5.4

第6章　定積分的應用

6.1　定積分的元素法

6.2　平面圖形的面積

6.2.1　直角座標系下平面圖形的面積

6.2.2　極座標系下平面圖形的面積

習題6.2

6.3　立體的體積

6.3.1　平行截面面積為已知的立體的體積

6.3.2　旋轉體的體積

習題6.3

6.4　平面曲線的弧長

習題6.4

6.5　定積分在物理中的應用

6.5.1　變力沿直線所做的功

6.5.2　靜壓力

6.5.3　引力

6.5.4　函數的平均值

習題6.5

第5，6章自測題

第7章　常微分方程

7.1　微分方程的基本概念

習題7.1

7.2　一階微分方程

7.2.1　可分離變量的微分方程

7.2.2　齊次方程

7.2.3　一階線性微分方程

7.2.4　伯努利方程

習題7.2

7.3　可降階的高階微分方程

7.3.1　y^（n）＝f（x）型的微分方程

7.3.2　y″＝f（x，y′）型的微分方程

7.3.3　y″＝f（y，y′）型的微分方程

習題7.3

7.4　二階線性微分方程解的結構

7.4.1　y″+P（x）y′+Q（x）y＝0解的結構

7.4.2　y″+P（x）y′+Q（x）y＝f（x）解的結構

習題7.4

7.5　二階常係數齊次線性微分方程

習題7.5

7.6　二階常係數非齊次線性微分方程

7.6.1　f（x）＝e^λx的情形

7.6.2　f（x）＝e^λx［P_l（x）cosωx+P_n（x）sinωx］（ω≠0）的情形

習題7.6

7.7　常微分方程的簡單應用

習題7.7

第7章自測題

部分習題答案與提示

附錄　幾種常用的曲線

第8章　空間解析幾何與向量代數

8.1　空間直角座標系

8.1.1　空間直角座標系

8.1.2　空間點的座標

8.1.3　兩點間的距離

習題8.1

8.2　向量及其線性運算

8.2.1　向量的概念

8.2.2　向量的加減法

8.2.3　向量與數的乘法

8.2.4　向量在軸上的投影

8.2.5　向量的座標表示

8.2.6　向量的模和方向餘弦

習題8.2

8.3　向量的數量積與向量積

8.3.1　兩向量的數量積

8.3.2　兩向量的向量積

習題8.3

8.4　平面及其方程

8.4.1　平面的點法式方程

8.4.2　平面的一般式方程

8.4.3　平面的截距式方程

8.4.4　點到平面的距離

8.4.5　兩平面的夾角

習題8.4

8.5　空間的直線及其方程

8.5.1　直線的一般式方程

8.5.2　直線的參數式方程與對稱式方程

8.5.3　兩直線的夾角

8.5.4　直線與平面的夾角

習題8.5

8.6　曲面及其方程

8.6.1　球面

8.6.2　旋轉曲面

8.6.3　柱面

8.6.4　二次曲面

習題8.6

8.7　空間曲線及其方程

8.7.1　空間曲線的一般方程

8.7.2　空間曲線的參數方程

習題8.7

第8章自測題

第9章　多元函數微分學

9.1　多元函數的極限與連續

9.1.1　平面點集

9.1.2　多元函數的基本概念

9.1.3　多元函數的極限

9.1.4　多元函數的連續性

習題9.1

9.2　多元函數的偏導數

9.2.1　偏導數的概念

9.2.2　偏導數的求法

9.2.3　高階偏導數

習題9.2

9.3　多元函數的全微分

9.3.1　全微分的概念

9.3.2　全微分存在的必要條件

9.3.3　全微分存在的充分條件

習題9.3

9.4　多元複合函數的求導法則

9.4.1　多元複合函數求導的鏈式法則

9.4.2　一階全微分形式不變性

習題9.4

9.5　隱函數的求導公式

9.5.1　一個方程的情形

9.5.2　方程組的情形

習題9.5

9.6　多元函數微分學的幾何應用

9.6.1　空間曲線的切線與法平面

9.6.2　曲面的切平面與法線

習題9.6

9.7　方向導數與梯度

9.7.1　方向導數

9.7.2　梯度

習題9.7

9.8　多元函數的極值及其求法

9.8.1　多元函數的極值

9.8.2　多元函數的條件極值　拉格朗日乘數法

習題9.8

第9章自測題

第10章　重積分

10.1　二重積分的概念與性質

10.1.1　二重積分的概念

10.1.2　重積分的性質

習題10.1

10.2　二重積分的計算

10.2.1　二重積分在直角座標下的計算

10.2.2　極座標下二重積分的計算

習題10.2

10.3　三重積分

10.3.1　三重積分的概念

10.3.2　三重積分的計算

習題10.3

10.4　重積分的應用

10.4.1　幾何應用

10.4.2　物理應用

習題10.4

第10章自測題

第11章　曲線積分與曲面積分

11.1　對弧長的曲線積分

11.1.1　對弧長的曲線積分的概念與性質

11.1.2　對弧長的曲線積分的計算法

習題11.1

11.2　對座標的曲線積分

11.2.1　對座標的曲線積分的概念與性質

11.2.2　對座標的曲線積分的計算法

習題11.2

11.3　格林公式及其應用

11.3.1　格林公式

11.3.2　平面上曲線積分與路徑無關的條件

11.3.3　二元函數的全微分求積

習題11.3

11.4　對面積的曲面積分

11.4.1　對面積的曲面積分的概念與性質

11.4.2　對面積的曲面積分的計算法

習題11.4

11.5　對座標的曲面積分

11.5.1　對座標的曲面積分的概念與性質

11.5.2　對座標的曲面積分的計算法

習題11.5

11.6　高斯公式

習題11.6

第11章自測題

第12章　無窮級數

12.1　常數項級數的概念與性質

12.1.1　常數項級數的概念

12.1.2　收斂級數的基本性質

12.1.3　級數收斂的必要條件

習題12.1

12.2　正項級數及其審斂法

習題12.2

12.3　一般項級數的審斂法

12.3.1　絕對收斂與條件收斂

12.3.2　交錯級數審斂法

習題12.3

12.4　冪級數

12.4.1　函數項級數與冪級數

12.4.2　冪級數的收斂半徑與收斂區間

12.4.3　冪級數的運算

習題12.4

12.5　函數展開成冪級數

12.5.1　泰勒公式與泰勒級數

12.5.2　泰勒級數的收斂性定理

12.5.3　函數f（x）展開成冪級數

習題12.5

12.6　傅里葉級數

12.6.1　三角級數與三角函數系的正交性

12.6.2　週期為2π的週期函數展開成傅里葉級數

12.6.3　傅里葉級數的收斂性定理

12.6.4　正弦級數與餘弦級數

12.6.5　定義在［-l，l］上函數的傅里葉級數

習題12.6

第12章自測題

部分習題答案與提示