高等數學

本分為上、下兩冊。上冊內容包括極限，一元函數微積分學，向量代數與空間解析幾何；下冊內容包括多元函數微分學，重積分，曲線積分與面積分，級數理論，常微分方程。

高等數學上冊

前言

第1章 函數、極限與連續

1.1 預備知識

一、集合

二、區間與鄰域

三、常用的不等式

四、極座標

五、函數的概念與若干性質

六、初等函數

七、雙曲函數

習題1.1

1.2 極限的概念與性質

一、極限的定義

二、極限的性質

習題1.2

1.3 極限的運算法則

一、極限的運算法則

二、複合函數的極限運算法則

習題1.3

1.4 極限存在準則及兩個重要極限

習題1.4

1.5 無窮小與無窮大

一、無窮小的定義

二、無窮小的性質

三、無窮大的定義

四、無窮小與無窮大的關係

五、無窮小的比較

習題1.5

1.6 連續函數及其性質

一、連續性定義

二、間斷點

三、連續函數的性質

習題1.6

1.7 初等函數的連續性

一、連續函數的和、差、積、商的連續性

二、反函數與複合函數的連續性

三、初等函數的連續性

習題1.7

複習題A

複習題B

第2章 導數與微分

2.1 導數的基本概念

一、導數的定義

二、導函數

三、導數的幾何意義

習題2.1

2.2 函數的求導法則

一、函數導數的四則運算

二、反函數的導數

三、複合函數的導數

四、導數公式與基本求導法則

習題2.2

2.3 高階導數

一、概念與記號

二、一些常見函數的高階導數公式

習題2.3

2.4 隱函數的導數及由參數方程所確定的函數的導數

一、隱函數的導數

二、由參數方程所確定的函數的導數

三、相關變化率

習題2.4

2.5 函數的微分與近似計算

一、微分的概念

二、微分的運算法則

三、微分的幾何意義

四、微分在近似計算中的應用

習題2.5

複習題A

複習題B

第3章 微分中值定理與導數的應用

3.1 微分中值定理

一、函數的極值

二、微分中值定理

習題3.1

3.2 泰勒公式

習題3.2

3.3 洛必達法則

一、0/0型未定式的洛必達法則

二、∞/∞型未定式的洛必達法則

三、其他類型的未定式

習題3.3

3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性

一、函數單調性的判定法

二、曲線的凹凸性及拐點

習題3.4

3.5 函數的極值與最大值、最小值

一、函數的極值及其求法

二、最大值、最小值問題

習題3.5

3.6 函數圖形的描繪

一、曲線的漸近線

二、函數圖形的描繪

習題3.6

3.7 曲率

一、弧微分

二、曲率及其計算公式

三、曲率半徑與曲率圓

習題3.7

3.8 導數在經濟學中的應用

一、邊際分析

二、函數彈性

習題3.8

複習題A

複習題B

第4章 不定積分

4.1 不定積分的基本概念與運算法則

一、原函數與不定積分

二、不定積分的幾何意義

三、不定積分的運算法則與基本積分表

習題4.1

4.2 換元積分法與分部積分法

一、換元積分法

二、分部積分法

習題4.2

4.3 幾種特殊類型函數的不定積分

一、有理函數和可化為有理函數的不定積分

二、三角函數有理式的不定積分

習題4.3

複習題A

複習題B ^[1] 

第5章 定積分

5.1 定積分的概念與性質

一、問題的提出

二、定積分的定義

三、定積分的性質

習題5.1

5.2 牛頓-萊布尼茨公式

一、變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯繫

二、積分上限的函數及其導數

三、牛頓-萊布尼茨公式

習題5.2

5.3 定積分的換元法和分部積分法

一、定積分的換元法

二、定積分的分部積分法

習題5.3

5.4 廣義積分

一、無窮限的廣義積分

二、無界函數的廣義積分

習題5.4

複習題A

複習題B

第6章 定積分的元素法及其應用

6.1 定積分的元素法

6.2 定積分在幾何學上的應用

一、平面圖形的面積

二、立體體積

三、平面曲線的弧長

6.3 定積分在物理學上的應用

一、變力沿直線所做的功

二、水壓力

三、引力

複習題A

複習題B

第7章 向量代數與空間解析幾何

7.1 向量及其運算

一、向量的概念

二、向量的運算

三、空間直角座標系

四、向量線性運算的座標表示

五、向量的模、方向角、投影

習題7.1

7.2 向量的數量積、向量積

一、向量的數量積

二、向量的向量積

習題7.2

7.3 曲面及方程

一、曲面方程的概念

二、繞座標軸旋轉的曲面

三、柱面

四、二次曲面簡介

習題7.3

7.4 空間曲線及方程

一、空間曲線的一般方程

二、空間曲線的參數方程

三、空間曲線在座標面上的投影方程

習題7.4

7.5 平面及方程

一、平面的點法式方程

二、平面的一般方程

三、兩平面的夾角

習題7.5

7.6 空間直線及方程

一、空間直線的一般方程

二、空間直線的對稱式方程與參數方程

三、兩直線的夾角

四、直線與平面的夾角

五、平面束簡介

習題7.6

複習題A

複習題B

參考文獻

附錄 積分表

高等數學下冊

第8章 多元函數微分法及其應用

8.1 多元函數的極限與連續

一、平面點集 n維歐氏空間及多元函數

二、二元函數的極限

三、二元函數的連續性

習題8.1

8.2 偏導數與全微分

一、偏導數的定義及其計算

二、全微分

習題8.2

8.3 方向導數與梯度

一、方向導數

二、梯度

習題8.3

8.4 多元複合函數的微分法

一、多元複合函數的求導法則

二、全微分形式不變性

習題8.4

8.5 隱函數的求導公式

一、一個方程的情形

二、方程組的情形

習題8.5

8.6 高階偏導數

一、高階偏導數

二、高階全微分

習題8.6

8.7 多元微分學在幾何上的應用

一、空間曲線的切線與法平面

二、曲面的切平面與法線

習題8.7

8.8 多元函數的極值

一、多元函數的極值

二、條件極值 拉格朗日乘數法

習題8.8

複習題A

複習題B

第9章 重積分

9.1 二重積分的概念與性質

一、二重積分實際背景（實例）

二、二重積分的定義

三、二重積分的性質

習題9.1

9.2 二重積分的計算

一、直角座標系下化二重積分為二次積分

二、極座標系下化二重積分為二次積分

習題9.2

9.3 三重積分概念

一、三重積分的定義

二、三重積分的物理意義

三、化三重積分為累次積分進行計算

習題9.3

9.4 重積分的應用

一、曲面的面積

二、引力

三、質心

四、轉動慣量

習題9.4

複習題A

複習題B

第10章 曲線積分與曲面積分

10.1 第一類的曲線積分

一、第一類的曲線積分的概念與性質

二、第一類的曲線積分的計算

習題10.1

10.2 第二類的曲線積分

一、第二類的曲線積分的概念與性質

二、第二類的曲線積分的計算方法

三、兩類曲線積分之間的聯繫

習題10.2

10.3 格林公式和曲線積分與路徑無關的條件

一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關的條件

三、二元函數的全微分求積

習題10.3

10.4 對面積的曲面積分

一、對面積的曲面積分的概念與性質

二、對面積的曲面積分的計算

習題10.4

10.5 對座標的曲面積分

一、對座標的曲面積分的概念與性質

二、對座標的曲面積分的計算

三、兩類曲面積分之間的聯繫

習題10.5

10.6 高斯公式 斯托克斯公式

一﹑高斯公式

二﹑斯托克斯公式

三﹑格林公式﹑高斯公式﹑斯托克斯公式之間的關係

習題10.6

複習題A

複習題B

第11章 無窮級數

11.1 常數項級數

一、常數項級數的基本概念

二、收斂級數的基本性質

三、正項級數及其審斂法

四、交錯級數及其審斂法

五、絕對收斂與條件收斂

習題11.1

11.2 冪級數

一、冪級數及其收斂性

二、冪級數的運算

三、冪級數的和函數

習題11.2

11.3 函數展開成冪級數及冪級數展開式的應用

一、函數展開成冪級數

二、冪級數展開式的應用

三、歐拉公式

習題11.3

11.4 傅里葉級數

一、正弦級數和餘弦級數

習題11.4

複習題A

複習題B

第12章 微分方程

12.1 微分方程的概念

習題12.1

12.2 變量分離方程與齊次方程

一、變量分離方程

二、齊次方程

習題12.2

12.3 一階線性微分方程與伯努利方程

一、一階線性微分方程

二、伯努利方程

習題12.3

12.4 全微分方程

習題12.4

12.5 可降階的高階微分方程

一、y^（n）＝f（x）型的微分方程

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程

習題12.5

12.6 高階線性微分方程

習題12.6

12.7 常係數齊次線性微分方程

習題12.7

12.8 常係數非齊次線性微分方程與歐拉公式

一、常係數非齊次線性微分方程

二、歐拉方程

習題12.8

複習題A

複習題B

參考文獻