高等數學

本書內容主要包括函數與極限、一元函數微分學及其應用、一元函數積分學及其應用、常微分方程、向量代數與解析幾何、多元函數微分學及其應用、多元函數積分學及其應用、無窮級數、數學實踐與數學建模初步等。本書結構體系嚴謹、語言組織精煉、論述條理簡潔、例題與習題編排合理。

前言

第1章函數與極限

1.1函數

1.1.1變量的變化範圍

1.1.2函數的定義

1.1.3幾類特殊的函數

1.1.4初等函數

1.2函數的極限

1.2.1數列的極限

1.2.2函數的極限

1.2.3函數極限的性質及其運算法則

1.3無窮大量與無窮小量

1.3.1無窮大量與無窮小量的定義

1.3.2無窮小量之間的比較

1.4連續函數

1.4.1連續函數的定義

1.4.2連續函數的性質

1.4.3函數間斷點的分類

1.5思考與拓展

複習題1

第2章一元函數微分學及其應用

2.1函數的導數

2.1.1實例

2.1.2導數的定義

2.1.3基本初等函數的導數

2.1.4高階導數

2.2求導的基本方法

2.2.1導數的四則運算法則

2.2.2四類特殊函數的求導法則

2.2.3對數求導法與指數求導法

2.3函數的微分

2.3.1微分的定義

2.3.2線性近似

2.4微分中值定理及其應用

2.4.1Rolle中值定理

2.4.2Lagrange中值定理

2.4.3Cauchy中值定理

2.4.4Taylor公式

2.5未定式極限

2.5.1*型和*型

2.5.2其他未定式極限

2.6函數性態

2.6.1函數的單調性

2.6.2函數的極值

2.6.3函數的凸性與漸近線

2.6.4弧微分與曲線的曲率

2.7思考與拓展

複習題2

第3章一元函數積分學及其應用

3.1定積分的概念及性質

3.1.1實例

3.1.2定積分的定義

3.1.3定積分的性質

3.2不定積分與微積分基本定理

3.2.1原函數與不定積分

3.2.2微積分基本定理

3.3不定積分的積分方法

3.3.1換元積分法

3.3.2分部積分法

3.3.3四類特殊函數的不定積分

3.3.4定積分的計算

3.4廣義積分

3.4.1無限區間上的廣義積分

3.4.2有限區間上無界函數的廣義積分

3.5定積分的應用

3.5.1微元法

3.5.2幾何上的應用

3.5.3物理上的應用

3.5.4積分不等式

3.6思考與拓展

複習題3

第4章常微分方程

4.1常微分方程的基本概念

4.1.1實例

4.1.2基本概念

4.2一階常微分方程

4.2.1可分離變量方程

4.2.2齊次方程

4.2.3一階線性微分方程

4.2.4Bernoulli方程

4.3高階常微分方程

4.3.1可降階的高階常微分方程

4.3.2n階線性常微分方程

4.3.3Euler方程

4.4二階常係數非齊次常微分方程

4.4.1二階齊次常係數微分方程

4.4.2f(x)=Pm(x)e^λx型

4.4.3f(x)=e^λx(P_s(x)cosωx+Q_t(x)sinωx)型

4.5微分方程應用

4.5.1幾何上的應用

4.5.2物理上的應用

4.6思考與拓展

複習題4

第5章向量代數與解析幾何

5.1向量代數

5.1.1向量的概念

5.1.2向量的線性運算

5.1.3向量線性運算的座標表示

5.1.4向量的方向餘弦與向量的投影

5.2向量的數量積、向量積與混合積

5.2.1向量的數量積

5.2.2向量的向量積

5.3空間曲面及其方程

5.3.1曲面方程

5.3.2二次曲面

5.4空間曲線和向量函數

5.4.1空間曲線及其方程

5.4.2空間曲線在座標面上的投影

^*5.4.3向量函數

5.5平面與直線

5.5.1平面及其方程

5.5.2空間直線及其方程

5.5.3直線與平面的位置關係

5.6思考與拓展

複習題5

第6章多元函數微分學及其應用

6.1多元函數

6.1.1區域

6.1.2n元函數及二元函數的極限

6.1.3二元函數的連續性

6.2偏導數與全微分

6.2.1n元函數的偏導數

6.2.2二元函數偏導數與一元函數導數的差異

6.2.3高階偏導數

6.2.4n元函數的全微分

6.3複合函數與隱函數求導法

6.3.1複合函數求導法

6.3.2隱函數的微分法

6.4方向導數與梯度

6.4.1方向導數

6.4.2梯度

6.5偏導數的應用

^*6.5.1Taylor公式

6.5.2幾何上的應用

6.5.3二元函數的極值和最值

6.5.4條件極值的Lagrange乘數法

6.6思考與拓展

複習題6

第7章多元函數積分學及其應用

7.1n重積分

7.1.1n重積分的定義

7.1.2n重積分的性質

7.1.3二重積分與三重積分

7.2重積分的計算

7.2.1二重積分的計算

7.2.2三重積分的計算

7.2.3重積分的應用

7.3曲線積分

7.3.1對弧長的曲線積分

7.3.2對座標的曲線積分

7.4Green公式及其應用

7.4.1Green公式

7.4.2曲線積分與積分路徑無關的充分必要條件

7.5曲面積分

7.5.1對面積的曲面積分

7.5.2對座標的曲面積分

7.5.3Gauss公式

7.5.4Stokes公式

^*7.5.5場論初步

^*7.5.6Hamilton算子

7.6思考與拓展

複習題7

第8章無窮級數

8.1無窮級數及其基本性質

8.1.1問題的提出

8.1.2無窮級數的基本概念

8.1.3無窮級數的性質

8.2級數收斂判別法

8.2.1正項級數收斂判別法

8.2.2一般項級數收斂判別法

8.3冪級數

8.3.1函數項級數

8.3.2冪級數及其收斂性

8.3.3冪級數的運算

8.4函數展開為冪級數

8.4.1Taylor級數

^*8.4.2函數展開為冪級數的應用

^*8.4.3微分方程的冪級數解法

8.5Fourier級數

8.5.1三角函數系的正交性

8.5.2函數展開成Fourier級數

8.5.3正弦級數與餘弦級數

8.5.4一般週期函數的Fourier級數

8.6思考與拓展

複習題8

第9章數學實踐與數學建模初步

9.1數學實踐

9.1.1函數與極限的應用實例

9.1.2一元函數微積分的應用實例

9.1.3n元函數微積分的應用實例

9.1.4無窮級數的應用舉例

9.2Matlab在高等數學中的應用

9.3數學建模初步

9.3.1基本知識

9.3.2建模實例

9.4簡單的經濟數學模型

9.4.1邊際成本與邊際效益

9.4.2效用函數

9.4.3商品替代率

9.4.4效用分析

參考文獻

部分習題參考答案或提示

數學淺談