高等數學

本書內容包括函數與極限、導數與微分、中值定理與導數的應用、不定積分、定積分及其應用、多元函數微分法及重積分初步、無窮級數和微分方程初步。

前言

第1章 函數與極限

§1.1 函數

1.1.1 集合、區間與鄰域

1.1.2 函數

§1.2 數列的極限

1.2.1 數列極限的定義

1.2.2 收斂數列的性質

§1.3 函數的極限

1.3.1 函數極限的定義

1.3.2 函數極限的性質

§1.4 無窮小與無窮大

1.4.1 無窮小

1.4.2 無窮小的運算性質

1.4.3 無窮大

§1.5 極限運算法則

§1.6 極限存在準則 兩個重要極限

1.6.1 夾逼準則 第一重要極限

1.6.2 單調有界收斂準則 第二重要極限

1.6.3 連續複利

§1.7 無窮小的比較

§1.8 函數的連續性

1.8.1 函數的連續性

1.8.2 函數的間斷點

§1.9 連續函數的運算與初等函數的連續性

1.9.1 連續函數的和、差、積、商的連續性

1.9.2 反函數的連續性

1.9.3 複合函數的連續性

1.9.4 初等函數的連續性

§1.10 閉區間上連續函數的性質

1.10.1 最大值和最小值定理

1.10.2 零點定理與介值定理

習題一

第2章 導數與微分

§2.1 導數概念

2.1.1 引例

2.1.2 導數的定義

2.1.3 利用定義求導數

2.1.4 導數的幾何意義

2.1.5 函數的可導性與連續性之間的關係

§2.2 函數的求導法則

§2.3 反函數和複合函數的求導法則

2.3.1 反函數的導數

2.3.2 複合函數的導數

§2.4 高階導數

2.4.1 高階導數的定義

2.4.2 舉例

2.4.3 高階導數在林業上的應用

§2.5 隱函數的導數以及由參數方程所確定的函數的導數

2.5.1 隱函數的導數

2.5.2 由參數方程所確定的函數的導數

§2.6 函數的微分

2.6.1 微分的定義

2.6.2 微分的幾何意義

2.6.3 基本初等函數的微分公式與微分運算法則

§2.7 微分的應用

習題二

第3章 微分中值定理與導數的應用

§3.1 中值定理

3.1.1 羅爾定理

3.1.2 拉格朗日中值定理

3.1.3 柯西中值定理

§3.2 絡必達法則

3.2.1 0/0型未定式

3.2.2 其他類型的未定式

§3.3 泰勒中值定理

§3.4 函數的單調性與曲線的凹凸性

3.4.1 函數單調性的判定法

3.4.2 曲線的凹凸性

§3.5 函數的極值和最大、最小值

3.5.1 函數的極值

3.5.2 函數的最大、最小值

§3.6 函數圖形的描繪

習題三

第4章 不定積分

§4.1 不定積分的概念與性質

4.1.1 原函數與不定積分的概念

4.1.2 不定積分的幾何意義

4.1.3 基本積分表

4.1.4 不定積分的性質

§4.2 換元積分法

4.2.1 第一類換元法

4.2.2 第二類換元法

§4.3 分部積分法

§4.4 有理函數的不定積分

4.4.1 有理函數的不定積分

4.4.2 三角有理函數的積分

4.4.3 無理函數的積分

習題四

第5章 定積分及其應用

§5.1 定積分的概念

5.1.1 兩個實際問題

5.1.2 定積分的定義

§5.2 定積分的性質

§5.3 微積分基本公式

5.3.1 積分上限函數及導數

5.3.2 牛頓-萊布尼茨公式

§5.4 定積分的換元法及分部積分法

5.4.1 定積分的換元法

5.4.2 定積分的分部積分法

§5.5 定積分在幾何上的應用

5.5.1 定積分的元素法

5.5.2 平面圖形的面積

5.5.3 體積

5.5.4 平面曲線的弧長

5.5.5 定積分在幾何上的應用

§5.6 反常積分

5.6.1 無窮限反常積分

5.6.2 無界函數反常積分

習題五

第6章 多元函數微分法及重積分初步

§6.1 多元函數的基本概念

6.1.1 區域

6.1.2 多元函數的概念

6.1.3 多元函數的極限

6.1.4 多元函數的連續性

§6.2 偏導數與全微分

6.2.1 偏導數的定義及其計算方法

6.2.2 高階偏導數

6.2.3 全微分

§6.3 多元複合函數的求導法則

§6.4 隱函數的求導公式

§6.5 多元函數的極值及其求法

6.5.1 二元函數的極值

6.5.2 二元函數的最值

6.5.3 條件極值

§6.6 二重積分

6.6.1 二重積分的概念與性質

6.6.2 二重積分的計算

習題六

第7章 無窮級數

§7.1 常數項級數的概念與性質

7.1.1 概念

7.1.2 常數項級數的基本性質

7.1.3 級數收斂的必要條件

§7.2 常數項級數的審斂法

7.2.1 正項級數及審斂法

7.2.2 交錯級數及審斂法

7.2.3 絕對收斂與條件收斂

§7.3 冪級數

7.3.1 函數項級數

7.3.2 冪級數及其收斂域

7.3.3 冪級數的運算

§7.4 函數展開成冪級數

7.4.1 泰勒級數

7.4.2 函數展成冪級數

7.5 冪級數在近似計算中的應用

習題七

第8章 微分方程初步

§8.1 微分方程的基本概念

§8.2 可分離變量的微分方程

§8.3 齊次方程

§8.4 一階線性微分方程

§8.5 可降階的高階微分方程

§8.6 二階常係數齊次線性微分方程

§8.7 二階常係數非齊次線性微分方程

習題八