高等數學

本書分為上、下兩冊。上冊內容為函數與極限、導數與微分、微分中值定理及其應用、不定積分、定積分、定積分的應用和空間解析幾何與向量代數共7章。下冊內容為多元函數微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數、微分方程共5章.

上冊目錄

前言

第1章 函數與極限

1.1 集合與實數系

1.1.1 集合

1.1.2 映射

1.1.3 實數系

習題1.1

1.2 函數

1.2.1 函數

1.2.2 函數的幾種特性

1.2.3 反函數

1.2.4 複合函數

1.2.5 基本初等函數

1.2.6 初等函數

1.2.7 雙曲函數和反雙曲函數

習題1.2

1.3 數列的極限

1.3.1 數列極限的定義

1.3.2 收斂數列的性質

1.3.3 收斂數列的運算

習題1.3

1.4 數列極限存在的條件

1.4.1 夾擠收斂準則

1.4.2 有界收斂準則

1.4.3 柯西收斂準則

1.4.4 實數系的完備性

習題1.4

1.5 函數的極限

1.5.1 自變量趨向有限值時函數的極限

1.5.2 自變量趨向無窮大時函數的極限

1.5.3 函數極限的性質

1.5.4 函數極限的運算

習題1.5

1.6 函數極限存在的條件

1.6.1 函數極限收斂準則

1.6.2 兩個重要極限

習題1.6

1.7 無窮小與無窮大

1.7.1 無窮小

1.7.2 無窮大

1.7.3 無窮小的比較

習題1.7

1.8 連續函數

1.8.1 函數的連續性

1.8.2 函數的間斷點

1.8.3 連續函數的運算

1.8.4 初等函數的連續性

習題1.8

1.9 閉區間上連續函數的性質

1.9.1 一致連續性

1.9.2 有界性

1.9.3 介值性

習題1.9

第2章 導數與微分

2.1 導數的概念

2.1.1 導數的定義

2.1.2 導數的幾何意義

2.1.3 幾個基本初等函數的導數公式

2.1.4 導函數的介值定理

習題2.1

2.2 求導法則

2.2.1 函數四則運算的求導法則

2.2.2 反函數的求導法則

2.2.3 複合函數的求導法則

2.2.4 基本初等函數導數公式

習題2.2

2.3 高階導數

2.3.1 高階導數的定義

2.3.2 基本初等函數的n階導數公式

習題2.3

2.4 隱函數與參數式函數的求導法則

2.4.1 隱函數的導數

2.4.2 參數方程表示的函數的導數

2.4.3 相關變化率

習題2.4

2.5 微分

2.5.1 微分的定義

2.5.2 微分基本公式和運算法則

2.5.3 微分的近似計算

2.5.4 微分在近似計算中的應用

2.5.5 高階微分

習題2.5

第3章 微分中值定理及其應用

3.1 拉格朗日中值定理和函數單調性

3.1.1 羅爾中值定理

3.1.2 拉格朗日中值定理

3.1.3 函數單調性的判定法

習題3.1

3.2 柯西中值定理和洛必達法則

3.3 泰勒公式

3.4 函數的極值與最大值最小值

3.5 函數的凸性與拐點

3.6 函數圖像的描繪

3.7 曲率

3.8 方程的近似解

第4章 不定積分

4.1 不定積分的概念與性質

4.1.1 原函數與不定積分

4.1.2 不定積分的性質

4.1.3 基本積分公式（一）

習題4.1

4.2 換元積分法

4.2.1 第一換元積分法（湊微分法）

4.2.2 第二換元積分法

4.2.3 簡單無理函數的積分

習題4.2

4.3 分部積分法

4.3.1 分部積分法公式

4.3.2 各種類型函數的分部積分法

習題4.3

4.4 有理函數積分法

4.4.1 有理函數的積分

4.4.2 三角函數有理式的積分

習題4.4

4.5 積分表的使用

習題4.5

下冊目錄

前言

第8章 多元函數微分法及其應用

8.1 平面點集與多元函數

8.1.1 平面點集

8.1.2 R²上的完備性定理

8.1.3 二元函數

8.1.4 n元函數

習題8.1

8.2 二元函數的極限和連續性

8.2.1 二元函數的極限

8.2.2 累次極限

8.2.3 二元函數的連續性

8.2.4 有界閉域上二元連續函數的性質

習題8.2

8.3 偏導數和全微分

8.3.1 偏導數

8.3.2 高階偏導數

8.3.3 全微分

8.3.4 全微分在近似計算中應用

習題8.3

8.4 複合函數微分法

8.4.1 複合函數求導法則

8.4.2 複合函數的全微分

8.4.3 複合函數的高階偏導數

習題8.4

8.5 隱函數存在定理及其微分法

8.5.1 一個方程的情形

8.5.2 方程組的情形

習題8.5

8.6 多元函數微分學的幾何應用

8.6.1 空間曲線的切線與法平面

8.6.2 曲面的切平面與法線

習題8.6

8.7 方向導數與梯度

8.7.1 方向導數

8.7.2 梯度

習題8.7

8.8 二元函數的泰勒公式

8.8.1 藉助於一元函數的泰勒公式

8.8.2 二元函數的泰勒中值定理

8.8.3 二元函數的麥克勞林公式

習題8.8

8.9 多元函數的極值及其求法

8.9.1 二元函數的無條件極值

8.9.2 二元函數的最大值和最小值

8.9.3 條件極值和拉格朗日乘子法

習題8.9

8.10 最小二乘法

8.10.1 經驗公式

8.10.2 引入最小二乘法的實例

8.10.3 化成線性函數應用最小二乘法的實例

習題8.10

第9章 重積分

9.1 二重積分的概念

9.1.1 二重積分的定義

9.1.2 二重積分的性質

習題9.1

9.2 二重積分的計算

9.2.1 在直角座標系下二重積分的計算

9.2.2 極座標系下二重積分的計算

9.2.3 二重積分的換元法

習題9.2

9.3 三重積分的概念及計算法

9.3.1 三重積分的概念

9.3.2 在直角座標系下三重積分的計算

9.3.3 在柱座標系下三重積分的計算

9.3.4 在球面座標系下三重積分的計算

習題9.3

9.4 重積分的應用

9.4.1 幾何應用

9.4.2 物理應用

習題9.4

9.5 含參變量的積分

9.5.1 含參變量的積分的定義

9.5.2 含參變量的積分的性質

習題9.5

第10章 曲線積分與曲面積分

10.1 對弧長的曲線積分

10.1.1 概念與性質

10.1.2 對弧長的曲線積分的計算

10.1.3 對弧長的曲線積分的應用

習題10.1

10.2 對座標的曲線積分

10.2.1 概念與性質

10.2.2 對座標的曲線積分的計算

10.2.3 兩類曲面積分的關係

習題10.2

10.3 格林公式

10.3.1 格林公式

10.3.2 平面曲線積分的四個等價命題

習題10.3

10.4 對面積的曲面積分

10.4.1 概念與性質

10.4.2 對面積的曲面積分的計算

10.4.3 對面積的曲面積分的應用

習題10.4

10.5 對座標的曲面積分

10.5.1 概念與性質

10.5.2 對座標的曲面積分的計算

10.5.3 兩類曲面積分之間的關係

習題10.5

10.6 高斯公式、通量與散度

10.6.1 高斯（Gauss）公式

10.6.2 通量與散度

習題10.6

10.7 斯托克斯公式、環流量與旋度

10.7.1 斯托克斯公式

10.7.2 旋度的概念

10.7.3 空間曲線積分的四個等價命題

習題10.7

第11章 無窮級數

11.1 常數項級數的概念與性質

11.1.1 基本概念

11.1.2 性質

習題11.1

11.2 常數項級數的審斂法

11.2.1 正項級數審斂法

11.2.2 絕對收斂與條件收斂

11.2.3 交錯級數審斂法

習題11.2

11.3 函數項級數的一致收斂性

11.3.1 一致收斂性的概念

11.3.2 一致收斂性的判別法

11.3.3 一致收斂級數的基本性質

習題11.3

11.4 冪級數

11.4.1 冪級數及其收斂性

11.4.2 冪級數的內閉一致收斂性

11.4.3 冪級數的運算

習題11.4

11.5 函數展開成冪級數及其應用

11.5.1 泰勒級數的收斂性定理

11.5.2 將函數展開為泰勒級數

11.5.3 函數的冪級數展開式的應用

習題11.5

11.6 傅里葉級數

11.6.1 傅里葉級數

11.6.2 正弦級數和餘弦級數

習題11.6

11.7 一般週期函數的傅里葉級數

11.7.1 一般週期函數傅里葉級數的收斂性

11.7.2 一般週期函數的傅里葉級數展開

習題11.7

第12章 微分方程

12.1 微分方程的基本概念

12.1.1 引例

12.1.2 常微分方程的基本概念

習題12.1

12.2 一階微分方程

12.2.1 可分離變量方程

12.2.2 齊次方程

12.2.3 可化為前兩類方程的方程

習題12.2

12.3 一階線性微分方程

12.3.1 一階線性齊次微分方程

12.3.2 一階線性非齊次微分方程

12.3.3 伯努利方程

習題12.3

12.4 全微分方程

12.4.1 全微分方程的定義

12.4.2 全微分方程的判別式和解法

12.4.3 可化為全微分方程的方程

習題12.4

12.5 可降階的高階微分方程

12.5.1 y^（n）=f（x）型n階微分方程

12.5.4 混合解法

習題12.5

12.6 高階線性微分方程

12.6.1 二階線性齊次微分方程的解的結構

12.6.2 二階線性非齊次微分方程解的結構

習題12.6

12.7 二階常係數線性齊次微分方程求解

12.7.1 方程的形式

12.7.2 解的結構

12.7.3 方程的解法

12.7.4 解法總結

12.7.5 推廣

習題12.7

12.8 二階常係數線性非齊次微分方程求解

12.8.1 自由項為f（x）=pm（x）e^λx的求解

12.8.2 自由項為f（x）= pm（x）e^λxcosωx（f（x）=pm（x）e^λxsinωx）的求解

習題12.8

12.9 常微分方程的解法和應用舉例

12.9.1 歐拉方程

12.9.2 微分方程的冪級數解法

12.9.3 常係數線性微分方程組解法

12.9.4 常微分方程的應用

習題12.9

習題參考答案 ^[1]