高等數學

本書分上、下兩冊，上冊內容包括函數、極限與連續、導數與微分、中值定理與導數的應用等，下冊內容包括多元函數微分及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分等。

上冊目錄

第一章　函數、極限與連續

第一節　函數

一、區間與鄰域

二、函數的概念

三、有關函數特性的一些概念

四、反函數及其圖形

五、初等函數

六、雙曲函數與反雙曲函數

習題1.1

第二節　極限

一、數列極限

二、函數極限

習題1.2

第三節　無窮小與無窮大

一、無窮小

二、無窮大

習題1.3

第四節　極限的運算法則與兩個重要極限

一、極限的四則運算法則

二、極限的存在準則與兩個重要極限

習題1.4

第五節　無窮小的比較

習題1.5

第六節　函數的連續性

一、函數連續性的概念

二、函數的間斷點

三、連續函數的運算與初等函數的連續性

四、閉區間上連續函數的性質

習題1.6

總習題一

第二章　導數與微分

第一節　導數的概念

一、導數的定義

二、導數的幾何意義

三、可導與連續的關係

習題2.1

第二節　導數的運算法則

一、求導的四則運算法則

二、反函數求導法則

三、複合函數求導法則

四、初等函數的求導法則

習題2.2

第三節　高階導數

習題2.3

第四節　隱函數的導數 由參數方程所確定的函數的導數 相關變化率

一、隱函數的導數

二、由參數方程所確定的函數的導數

三、相關變化率

習題2.4

第五節　微分及其應用

一、函數的微分

二、微分在近似計算中的應用

習題2.5

總習題二

第三章　中值定理與導數的應用

第一節　中值定理

一、羅爾定理

二、拉格朗日中值定理

三、柯西中值定理

習題3.1

第二節　洛必達法則

習題3.2

第三節　泰勒公式

習題3.3

第四節　函數單調性及其判定法

習題3.4

第五節　函數的極值與最值

一、函數的極值

二、最大值與最小值

習題3.5

第六節　曲線的凹凸性與拐點、函數作圖

一、曲線的凹凸性與拐點

二、函數作圖

習題3.6

第七節　曲率

一、弧微分

二、曲率及其計算公式

三、曲率圓與曲率半徑

習題3.7

總習題三

第四章　積分及其應用

第一節　定積分的概念和性質

一、定積分的兩個例子

二、定積分的定義

三、定積分的幾何意義和物理意義

四、定積分的性質

習題4.1

第二節　微積分學基本定理

一、積分上限函數及其性質

二、微積分學的基本定理

習題4.2

第三節　不定積分的概念

一、不定積分

二、不定積分的幾何意義

三、不定積分的性質

四、基本積分公式

習題4.3

第四節　不定積分的計算

一、第一類換元法（湊微分法）

二、第二類換元法

三、分部積分法

四、特殊函數的積分

習題4.4

第五節　定積分的積分法

一、定積分的換元法

二、定積分的分部積分法

習題4.5

第六節　廣義積分

一、無窮積分

二、瑕積分

習題4.6

第七節　定積分的應用

一、微元法

二、定積分的幾何應用

三、定積分的物理應用

習題4.7

總習題四

第五章　空間解析幾何

第一節　空間直角座標與向量代數

一、空間直角座標系

二、向量及其線性運算

習題5.1

第二節　向量的座標

一、向量在軸上的投影

二、向量的座標

三、向量運算的座標表示式

四、向量的模與方向的座標表示式

習題5.2

第三節　向量的乘法

一、向量的數量積

二、向量的向量積

三、向量的混合積與二重向量積

習題5.3

第四節　平面及其方程

一、平面方程的三種形式

二、兩平面的相互關係

三、點到平面的距離公式

習題5.4

第五節　直線及其方程

一、直線方程的三種形式

二、兩條直線的相互關係

三、直線與平面的相互關係

四、平面束的方程

習題5.5

第六節　空間曲面與空間曲線

一、曲面及其方程

二、二次曲面

三、曲線及其方程

習題5.6

總習題五

附錄

附錄Ⅰ　預備知識、常用曲線與曲面

附錄Ⅱ　積分表

附錄Ⅲ　二階和三階行列式簡介

參考文獻

下冊目錄

第六章　多元函數微分法及其應用

第一節　多元函數

一、多元函數概念

二、二元函數的極限

三、二元函數的連續性

習題6.1

第二節　偏導數

一、偏導數的定義

二、偏導數的計算

三、高階偏導數

習題6.2

第三節　全微分

一、全微分的定義

二、可微分的條件

習題6.3

第四節　多元複合函數的求導法則

習題6.4

第五節　隱函數的求導公式

一、一個方程的情形

二、方程組的情形

習題6.5

第六節　偏導數的應用

一、偏導數的幾何上的應用

二、多元函數的極值及其求法

習題6.6

第七節　方向導數與梯度

一、方向導數

二、梯度

習題6.7

總習題六

第七章　重積分

第一節　二重積分的概念與性質

一、二重積分的概念

二、二重積分的性質

習題7.1

第二節　二重積分的計算

一、利用直角座標系計算二重積分

二、利用極座標計算二重積分

習題7.2

第三節　三重積分的概念及其計算

習題7.3

第四節　利用柱面座標和球面座標計算三重積分

一、利用柱面座標計算三重積分

二、利用球面座標計算三重積分

習題7.4

第五節　重積分的應用

一、二重積分的應用

二、三重積分的應用

習題7.5

總習題七

第八章　曲線積分與曲面積分

第一節　對弧長的曲線積分

一、對弧長的曲線積分的概念與性質

二、對弧長的曲線積分的計算法

習題8.1

第二節　對座標的曲線積分

一、對座標的曲線積分的概念與性質

二、對座標的曲線積分的計算法

三、兩類曲線積分之間的聯繫

習題8.2

第三節　格林公式

一、格林公式

二、平面上曲線積分與路徑無關的條件

三、二元函數的全微分求積

習題8.3

第四節　對面積的曲面積分

一、對面積的曲面積分的概念與性質

二、對面積的曲面積分的計算法

習題8.4

第五節　對座標的曲面積分

一、對座標的曲面積分的概念與性質

二、對座標的曲面積分的計算法

三、兩類曲面積分之間的聯繫

習題8.5

第六節　高斯公式

習題8.6

第七節　向量場的散度與旋度

一、通量與散度

二、斯托克斯公式

三、環流量與旋度

習題8.7

總習題八

第九章　無窮級數

第一節　常數項級數的概念與性質

一、常數項級數的概念

二、無窮級數的基本性質

三、級數收斂的必要條件

習題9.1

第二節　常數項級數的審斂法

一、正項級數及其審斂法

二、交錯級數及其審斂法

三、任意項級數的斂散性（絕對收斂與條件收斂）

習題9.2

第三節　冪級數

一、函數項級數的一般概念

二、冪級數及其斂散性

三、冪級數的運算

習題9.3

第四節　函數展開成冪級數

一、泰勒級數

二、函數展開成冪級數

三、函數的冪級數展開式的應用

習題9.4

第五節　傅里葉級數

一、三角級數及三角函數系的正交性

二、函數展開成傅里葉級數

三、正弦級數和餘弦級數

四、傅里葉級數的複數形式

習題9.5

總習題九

第十章　微分方程

第一節　微分方程的基本概念

習題10.1

第二節　可分離變量的微分方程、齊次方程

一、可分離變量的微分方程

二、齊次方程

習題10.2

第三節　一階線性微分方程、貝努利方程

一、一階線性微分方程

二、貝努利方程

習題10.3

第四節　全微分方程

習題10.4

第五節　可降階的高階微分方程

一、y<sup>(n)</sup>＝f(x)型的微分方程

習題10.5

第六節　線性微分方程的解的結構

一、線性微分方程的基本概念

二、線性微分方程的解的結構

習題10.6

第七節　二階常係數齊次線性微分方程

習題10.7

第八節　二階常係數非齊次線性微分方程

習題10.8

第九節　歐拉方程

習題10.9

第十節　微分方程的應用

習題10.10

總習題十

參考文獻