高等數學

該教材講述了函數、極限與連續、導數、導數應用、不定積分、定積分、微分方程和無窮級數等內容。書中配有大量例題。

第1章 函數

1.1 實數

1.1.1 集合

1.1.2 實數的概念及表示

1.1.3 實數的絕對值

1.1.4 平面上的點

1.1.5 平面上的直線及其方程式

1.1.6 鄰域

1.2 函數的定義及性質

1.2.1 函數的概念

1.2.2 函數的定義域及其求法

1.2.3 函數的一些重要性質

1.2.4 反函數

1.2.5 複合函數

1.3 初等函數的性質及其圖形表示

1.4 函數關係的建立

第2章 極限與連續

2.1 數列的極限

2.1.1 數列的概念

2.1.2 數列極限的概念

2.2 函數的極限

2.2.1 自變量趨向有限值時函數的極限

2.2.2 自變量趨向無窮大時函數的極限

2.3 極限的運算

2.4 兩個重要極限

2.4.1 夾逼準則

2.4.2 重要極限 1

2.4.3 重要極限 2

2.5 無窮小量與無窮大量

2.5.1 無窮小量

2.5.2 無窮大量

2.5.3 無窮小量的比較

2.6 函數的連續性

2.6.1 函數的連續性

2.6.2 函數的間斷點

2.6.3 初等函數的連續性

2.6.4 閉區間上連續函數的性質

第3章 導數與微分

3.1 導數的概念

3.1.1 變化率問題的兩個引例

3.1.2 導數的定義

3.1.3 利用導數的定義，求導數

3.1.4 導數的幾何意義

3.1.5 可導與連續的關係

3.1.6 左導數和右導數

3.2 求導法則

3.2.1 導數的四則運算法則

3.2.2 複合函數的求導法則

3.2.3 反函數的求導法則

3.2.4 初等函數的求導舉例

3.3 隱函數及參數方程所確定的函數的導數

3.3.1 隱函數的導數

*3.3.2 由參數方程所確定的函數的導數

3.3.3 基本公式和求導法則

3.4 高階導數

3.4.1 顯函數的 n 階導數

*3.4.2 二階導數的力學意義

3.5 函數的微分

3.5.1 微分的概念

3.5.2 微分的幾何意義

3.5.3 微分在近似計算上的應用

3.5.4 微分公式與微分運算法則

第4章 導數應用

4.1 中值定理

4.1.1 羅爾中值定理

4.1.2 拉格朗日中值定理

4.1.3 柯西定理

4.2 洛必達法則

4.3 函數單調性的判定

4.4 函數的極值及其求法

4.4.1 函數極值的定義

4.4.2 函數的極值的判定和求法

4.5 函數的最值及其應用

*4.6 導數在經濟中的應用

4.6.1 導數在經濟分析中的應用

4.6.2 導數在經濟最優化中的應用

第5章 不定積分

5.1 不定積分的概念與性質

5.1.1 不定積分的概念

5.1.2 不定積分的性質

5.1.3 基本積分公式

5.2 換元積分法

5.2.1 第一換元法（湊微分法）

5.2.2 第二換元法

5.3 分部積分法

*5.4 補充例題

第6章 定積分

6.1 定積分的概念及性質

6.1.1 定積分問題舉例

6.1.2 定積分的定義

6.1.3 定積分的幾何意義

6.1.4 定積分的性質

6.2 微積分基本公式

6.2.1 積分上限函數及其導數

6.2.2 微積分基本公式——牛頓—萊布尼茨公式

6.3 定積分的換元法

6.4 定積分的分部積分法

6.5 定積分的應用

6.5.1 微元法

6.5.2 平面圖形的面積

6.5.3 旋轉體的體積

6.6 無窮區間上的廣義積分

第7章 微分方程

7.1 微分方程的基本概念

7.2 可分離變量的微分方程

7.3 一階線性微分方程

7.4 高階線性微分方程

7.5 二階常係數齊次線性微分方程

7.6 二階常係數非齊次線性微分方程

第8章 無窮級數

8.1 常數項級數的概念和性質

8.1.1 常數項級數的概念

8.1.2 收斂級數的基本性質

8.2 常數項級數的審斂準則

8.2.1 級數的收斂問題

8.2.2 交錯級數及其審斂準則

8.2.3 絕對收斂與條件收斂

8.3 冪級數

8.3.1 函數項級數的概念

8.3.2 冪級數及其收斂問題

8.3.3 冪級數的性質

8.4 函數展開成冪級數

8.4.1 泰勒公式

8.4.2 泰勒公式與泰勒展開式

8.5 傅里葉級數

8.5.1 三角級數、三角函數系的正交性

8.5.2 歐拉—傅里葉公式、傅里葉級數

8.5.3 偶或奇函數的傅里葉級數

8.5.4 任意區間上的傅里葉級數

主要參考文獻