一階線性微分方程

形如

（記為式1）的方程稱為一階線性微分方程。其特點是它關於未知函數y及其一階導數是一次方程。這裏假設

，

是x的連續函數。

若

，式1變為

（記為式2）稱為一階齊次線性方程。

如果

不恆為0，式1稱為一階非齊次線性方程，式2也稱為對應於式1的齊次線性方程。

式2是變量分離方程，它的通解為

，這裏C是任意常數。 ^[1] 

一階線性微分方程的求解一般採用常數變易法，該方法是由法國著名數學家Lagrange發現的 ^[3]  。通過常數變易法，可求出一階線性微分方程的通解：先求解一階線性非齊次微分方程所對應的齊次方程，將所得通解中的常數變為一個未知函數。為了求出這個未知函數，將該含有未知函數的解代入原方程解出這個未知函數，從而得到原方程的通解。 ^[3] 

對於一階齊次線性微分方程：

其通解形式為：

其中C為常數，由函數的初始條件決定。

對於一階非齊次線性微分方程：

其對應齊次方程:

解為：

令C=u(x)，得:

帶入原方程得：

對u’(x)積分得u(x)並帶入得其通解形式為：

其中C為常數，由函數的初始條件決定。

注意到，上式右端第一項是對應的齊次線性方程式（式2）的通解，第二項是非齊次線性方程式（式1）的一個特解。由此可知，一階非齊次線性方程的通解等於對應的齊次線性方程的通解與非齊次線性方程的一個特解之和。 ^[2]