一階導數

導數和積分的發現是微積分發明的關鍵一步。十七世紀以來，光學透鏡的設計以及炮彈彈道軌跡的計算促使歐洲的數學家對曲線的切線進行研究。1630年代，法國數學家吉爾·德·羅伯瓦爾作出了最初的嘗試。與此同時，同是法國人的費馬在計算切線時已經使用了無窮小量的概念。

英國的巴羅、荷蘭的於德（Johnann Van Waveren Hudde）和瓦隆的斯盧茲（René Francoiss Walther de Sluze）繼續了費馬的工作。然而，費馬和巴羅等人並沒有將求導歸納為一種獨立的工具，只是給出了具體的計算技巧。

十七世紀六十年代，英國人伊薩克·牛頓提出了“流數”的概念。牛頓在寫於1671年的《流數法與無窮級數》中對流數的解釋是：“我把時間看作是連續的流動或增長，而其他的量則隨着時間而連續增長。我從時間流動性出發，把所有其他量的增長速度稱為流數。”也就是説，流數就是導數。牛頓將無窮小的時間間隔定義為“瞬間”（moment），而一個量的增量則是流數與瞬間的乘積。求導數時，牛頓將自變量和因變量兩邊展開，同時除以瞬間，再將剩下的項中含有瞬間的項忽略掉。而在他的第三篇微積分論文中，牛頓使用了新的概念：最初比和最後比。他説：隨我們的意願，流數可以任意地接近於在儘可能小的等間隔時段中產生的增量，精確地説，它們是最初增量的最初的比，它們也能用和它們成比例的任何線段來表示。

相比於牛頓，德國數學家萊布尼茲使用了更清晰的記號來描述導數。他利用了巴羅的“微分三角形”概念，將自變量和因變量的增量記為dx和 dy。他把dx理解為“比任何給定的長度都要小”，而dy則是 x 移動時y“瞬刻的增長”。而導數則是兩者之間的比例。他還研究了函數之和、差、積、商的求導法則。

微積分的理論面世後，遭到了有關無窮小量定義的攻擊與質疑。導數的定義自然也包括在內。萊布尼茲和牛頓對無窮小量的認識都是模糊的。不僅如此，萊布尼茲甚至引入(d)x 和 (d)y，稱其為“未消失的量”，用以進行求導前部的計算。在完成計算後再用“消失的量”dx 和dy來代替它們，並假定前兩者之比等於後兩者之比，認為這是一個不容置疑的真理。

許多數學家，包括伯努利兄弟、泰勒、麥克勞林、達朗貝爾、拉格朗日和歐拉都想要對微積分的嚴密性辯護或將微積分嚴密化。但受限於對無窮小量的認識，十八世紀的數學家並沒有做出太大的成果。微積分的強烈抨擊者，英國的喬治·貝克萊主教在攻擊無窮小量時認為，流數實際上是“消失的量的鬼魂”，是0與0之比。歐拉承認後者，並認為0與0之比可以是有限值。拉格朗日則假定函數都可以展開為冪級數，並在此基礎上定義導數。

十九世紀後，隨着對函數連續性和極限的更深刻認識，微積分終於趨於嚴謹。波爾查諾是首先將導數定義為函數值的改變量與自變量增量之比在自變量增量無限接近0時趨向的量。波爾查諾強調導數不是0與0之比，而是前面的比值趨向的數。柯西在他的著作《無窮小分析教程概論》中也使用了同樣的定義，並定義dy為導數與 dx的乘積。這樣，導數和微分的概念得到了統一。 ^[2] 

設有定義域和取值都在實數域中的函數y=f(x)。若f(x) 在點

的某個鄰域內有定義，則當自變量x在x₀處取得增量

（點

仍在該鄰域內）時，相應地y取得增量

；如果

與

之比當

時的極限存在，則稱函數y=f(x) 在點

處可導，並稱這個極限為函數 y=f(x)在點

處的導數，記為

，即： ^[3] 

對於一般的函數，如果不使用增量的概念，函數f(x)在點x₀處的導數也可以定義為：當定義域內的變量x趨近於x₀ 時，也可記作

或者

的極限。也就是説，

當函數定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函數的曲線上的切線斜率。如圖1所示，設P₀為曲線上的一個定點，P為曲線上的一個動點。當P沿曲線逐漸趨向於點P₀時，並且割線PP₀的極限位置P₀T存在，則稱P₀T為曲線在P₀處的切線。 ^[1] 

若曲線為一函數y=f(x)的圖像，那麼割線PP₀的斜率為：

當P₀處的切線P₀T，即PP₀的極限位置存在時，此時

，則P₀T的斜率

為：

上式與一般定義中的導數定義完全相同，也就是説

，因此，導數的幾何意義即曲線y=f(x)在點

處切線的斜率。

一階導數表示的是函數的變化率，最直觀的表現就在於函數的單調性定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b)內具有一階導數，那麼：

（1）若在(a,b)內f'(x)>0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞增；

（2）若在(a,b)內f’(x)<0,則f(x)在[a,b]上的圖形單調遞減；

（3）若在(a,b)內f'(x)=0,則f(x)在[a,b]上的圖形是平行（或重合）於x軸的直線，即在[a,b]上為常數。 ^[3] 

在圖2可以直觀的看出：函數的導數就是一點上的切線的斜率。當函數單調遞增時，斜率為正，函數單調遞減時，斜率為負。

微分也是一種線性描述函數在一點附近變化的方式。微分和導數是兩個不同的概念。但是，對一元函數來説，可微與可導是完全等價的。可微的函數，其微分等於導數乘以自變量的微分dx，換句話説，函數的微分與自變量的微分之商等於該函數的導數。因此，導數也叫做微商。函數y=f(x)的微分又可記作dy=f'(x)dx。 ^[3] 

如果一個函數的定義域為全體實數，即函數在實數域上都有定義，那麼該函數是不是在定義域上處處可導呢？答案是否定的。函數在定義域中一點可導需要一定的條件。首先，要使函數f在一點可導，那麼函數一定要在這一點處連續。換言之，函數若在某點可導，則必然在該點處連續。

可導的函數一定連續，不連續的函數一定不可導。

欲求函數

在x=3處的導數。可以先求出其導函數：

其中第二項使用了複合函數的求導法則，而第三項則使用了乘積的求導法則。求出導函數後，再將x=3代入，得到導數為：