常數變易法

常數變易法是個特殊的變量代換法。

對於一階線性微分方程

，在解齊次方程時用

代換，而這裏是

; 一般地代換

，

為

的確定函數，

是

的未知函數，那麼

乘以

可以表示任意的

的函數。選一個適當的

，就能使方程化成變量可分離的。這個

是怎麼選定的，反向過來看，把

帶入後，得到

，剛好後兩項相互抵消，就可分離變量。其實這個問題就是解

, 剛好就是求對應的齊次方程的解。 ^[1] 

求解

…….(1)

對於這個式子最正常的思路就是“分離變量”，因為之前所學的思想無一不是把變量分離再兩邊積分。所以我們的思維就集中在如何將（1）式的

和

分離上來。

直接分離：

=>

…….(2)

從中看出

不可能單獨除到左邊來，所以是分不了的。故需要轉換思想：

不妨設

， 即

. 將

，

代入(1)式:

=>

=>

=>

………(3)

這時u又不能單獨除到左邊來，所以還是宣告失敗。

不過，這裏給我們一點啓示：如果某一項的變量分離不出來，那使該項成為零是比較好的選擇。因為這樣“變量分離不出”這個矛盾就消失了——整個一項都消失了。比如説對於（3）式，如果

，那麼那一項就消失了；再比如説，對於（2）式，如果

，那麼那一項也消失了。當然這些假設都是不可能的，因為

和

等於幾是你無法干預的。不過我們可以想：如果我們巧妙地構造出一個函數，使這一項等於零。

進一步：變量代換法

就是這麼符合要求的一個函數。其中

和

都是關於

的函數。這樣求

對應於

的函數關係就轉變成分別求

對應於

的函數關係和

對應於

的函數關係的問題。

代入（1）式：

………(4)

如果利用分離變量法來求

對應於

的函數關係，那麼

就是我們剛剛遇到的沒法把

單獨分離出來的那一項，把這一項變為零。

令

，解出v對應x的函數關係，這是一個可以分離變量的微分方程問題，可以將其解出來。

=>

………(5)

已解出，接下來該處理

了，實際上當

解出來後

就十分好處理。把（5）式代入（4）式，則

這一項便被消掉了。剩下的是

而這也是一個可以分離變量的微分方程。同樣可以十分容易地解出來：

=>

=>

……(6)

和

都已求出，那麼

也迎刃而解：

=

=

………(7) (這裏

)

這個方法看上去增加了複雜度，實際上卻把一個不能直接分離變量的微分方程化成了兩個可以直接分離變量的微分方程。這個方法叫“變量代換法”，即用

代換了

。

再進一步：常數變易法

再進一步觀察我們可以看出，求

的微分方程（即

）其實就是求

當

時的齊次方程。所以，我們可以直接先把非齊次方程當作齊次方程來解。即解出

的解來。 得：

………(8)

注意這裏的

並非最終答案，從上一環節我們知道這其實是

而已。而最終答案是

，

僅是其中一部分。因此這裏的

並不是我們要的y，因此還要繼續。

把（8）式和上面提到的（7）式比較一下：

………(7)

………(8)

（7）式是最終的結論，（8）式是我們可以到達的地方。把（8）式的那個

換成

，再把這個

解出來。像上面這種將常數變易為待定函數去求微分方程解的方法，稱為常數變易法。 ^[2]  即把常數

硬生生地變成

，把

代入（1）式，由於

是一個可以令那個分離不出變量的項被消掉的特解，因此即可知一定會解得

。從中解出

，再代回

便可得到最終答案。