-
微分中值定理
鎖定
- 中文名
- 微分中值定理
- 外文名
- mean value theorem
- 提出者
- 拉格朗日、泰勒等
- 適用領域
- 微積分
- 應用學科
-
數學
物理學
微分中值定理羅爾定理
內容:
如果函數f(x)滿足:
在閉區間[a,b]上連續;
在開區間(a,b)內可導;
在區間端點處的函數值相等,即f(a)=f(b),
那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),使得 f'(ξ)=0.
弧上至少有一點 ,曲線在該點切線是水平的。
微分中值定理拉格朗日定理
內容:
如果函數 f(x) 滿足:
1)在閉區間[a,b]上連續;
2)在開區間(a,b)內可導。
那麼:在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ<b),
使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。
(或存在0<h<1,使f(b)-f(a)=f′[a+h(b-a)](b-a) 成立)
微分中值定理柯西定理
內容:
如果函數f(x)及F(x)滿足
(1)在閉區間[a,b]上連續;
(2)在開區間(a,b)內可導;
(3)對任一x∈(a,b),F'(x)≠0
那麼在(a,b) 內至少有一點ξ,使等式
[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
成立
中值定理分為: 微分中值定理和積分中值定理。
以上三個為微分中值定理。
定積分第一中值定理為:
f(x)在a到b上的定積分等於f(ξ)(b-a)(存在ξ∈[a,b]使得該式成立)
注:積分中值定理可以根據介值定理推出,所以同樣ξ∈[a,b]都為閉區間。
微分中值定理泰勒公式
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裏ξ在x和x.之間,該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
(注:f(n)(x.)是f(x.)的n階導數,不是f(n)與x.的相乘。)
推論:麥克勞林公式
內容:
若函數f(x)在開區間(a,b)有直到n+1階的導數,則當函數在此區間內時,可以展開為一個關於x多項式和一個餘項的和:
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裏0<θ<1.
微分中值定理達布定理
內容:
若函數f(x)在[a,b]上可導,則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.
推廣:若f(x),g(x)均在[a,b]上可導,並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。
微分中值定理洛必達法則
內容:
設(1)當x→a時,函數f(x)及F(x)都趨於零;
(2)在點a的去心鄰域內,f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0;
(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼
x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
又設
(1)當x→∞時,函數f(x)及F(x)都趨於∞;
(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在,且F'(x)≠0;
(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大),那麼
x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。