定積分

定積分定義：設函數f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (x_n-1,x_n]，其中x₀=a，x_n=b。可知各區間的長度依次是：△x₁=x₁-x_0，在每個子區間(x_i-1,x_i]中任取一點ξ_i（1,2,...,n），作和式

。該和式叫做積分和，設λ=max{△x₁, △x₂, …, △x_n}（即λ是最大的區間長度），如果當λ→0時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函數f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為

，並稱函數f(x)在區間[a,b]上可積。 ^[1]  其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a, b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

之所以稱其為定積分，是因為它積分後得出的值是確定的，是一個常數， 而不是一個函數。

根據上述定義，若函數f(x)在區間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：

特別注意，根據上述表達式有，當[a,b]區間恰好為[0,1]區間時，則[0,1]區間積分表達式為：

1、當a=b時，

2、當a>b時，

3、常數可以提到積分號前。

4、代數和的積分等於積分的代數和。

5、定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與[c,b]則有

又由於性質2，若f(x)在區間D上可積，區間D中任意c（可以不在區間[a,b]上）滿足條件。

6、如果在區間[a,b]上，f(x)≥0,則

7、積分中值定理：設f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點ε在[a,b]內使

如果

（1）

;

（2）x=ψ(t)在[α,β]上單值、可導;

（3）當α≤t≤β時，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,

則

設u=u(x),v=v（x）均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式： ^[2] 

定積分是把函數在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當n→+∞時所有這些矩形面積的和。習慣上，用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距

是相等的。但是必須指出，即使

不相等，積分值仍然相同。

如果這些“矩形面積和”

，那麼當n→+∞時，

的最大值趨於0，所以所有的

趨於0，所以S仍然趨於積分值。

利用這個規律，在瞭解牛頓-萊布尼茲公式之前，可以對某些函數進行積分。

例如：證明對於函數

有

。

證明：選擇等比級數來分點，令公比

且

，

那麼“矩形面積和”為

提取

，則有

利用等比級數公式，得到

其中

。

設

， 令

，則

令n增加，則s,q都趨於1，因而N的極限為

。

定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來説，就是把直角座標系上的函數的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.

定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個導函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯繫，那麼為什麼定積分要寫成積分的形式呢？

定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。

定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由於一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關係。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由於這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：

如果f(x)是[a,b]上的連續函數，並且有F′(x)=f(x)，那麼

用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。

正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯繫，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

定積分的應用(4張)

例：求由拋物線

與直線

圍成的平面圖形D的面積S.

做變速直線運動的物體經過的路程s，等於其速度函數v=v(t) (v(t)≥0)在時間區間[a,b]上的定積分。

某物體在變力F=F(x)的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等於F=F(x)在[a,b]上的定積分。（見圖冊“應用”）

若函數在[a,b]上連續，則有：

若函數在[a,b]上連續，則有：

若函數在[0,1]上連續，則有：

以上三個結論。