區間

通用的區間記號中，圓括號表示“排除”，方括號表示“包括”。例如，區間(10, 20)表示所有在10和20之間的實數，但不包括10和20。另一方面，[10, 20]表示所有在10和20之間的實數，以及10和20。而當我們任意指一個區間時，一般以大寫字母 I 記之。

有的國家是用逗號來代表小數點，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替。 ^[1-2]  例如[1, 2.3]就要寫成[1; 2,3]。否則，若只把小數點寫成逗號，之前的例子就會變成 [1,2,3] 了。這時就不能知道究竟是 1.2 與 3 之間，還是 1 與 2.3 之間的區間了。

在法國及其他一些歐洲國家，是用

與

代替

與

。比如

寫成

，

寫成

。這種寫法原先也包括在國際標準化組織編制的ISO 31-11內。ISO 31-11是一套有關物理科學及科技中所使用的數學符號的規範。在2009年，已由新制訂的ISO 80000-2所取替，不再包括

與

的用法。 ^[3] 

用集合的語言，我們定義各種區間為：

注意

均是代表空集，單元素集合不能用區間表示，如集合{0}不能表示為[0]或[0,0]。而當a＞b時，上述的四種記號一般都視為代表空集。區間不為空集時，a, b稱為區間的端點。一般定義 b - a 為區間的長度。區間的中點則為 (a+b)/2。

區間[a,b]有時也稱為線段。（不為空集或單元素集的話）

除了表示區間，圓括號和方括號也有其他用法，視乎語境而定。譬如

也可表示集合論中的有序對丶解析幾何中點的座標，線性代數中向量的座標，有時也用來表示一個複數，有時在數論中，用

表示整數

的最大公約數。

也偶爾用作表示有序對，尤其在計算機科學的範疇裏。同樣在數論裏，用

表示整數

的最小公倍數。

有部分作者以

來表示區間

在實數集裏的補集，即是包含了小於或等於a的實數，以及大於或等於b的實數。

我們可以用

符號來表示區間在某方向上無界。具體定義如下：

特別地，

表示正實數集，亦記作

。

則表示了非負實數集。

如果區間是單側無界，也稱為射線或半直線。如果它包含有限端點，則稱其為閉射線或閉半直線。如果不包含有限端點，則稱其為開射線或開半直線。 ^[4] 

一般使用的便是以上五種記號，而

等的寫法則相當少見。有的作者假定區間為實數集的子集，對於他們來説，這些寫法要麼是無意義，要麼就是跟用圓括號的意思沒兩樣。在後者的情況下，我們可以寫作

。於是實數集可被視為又開又閉的區間。

如果我們考慮擴展的實數軸，那麼這四種寫法是有數的區間。

一般而言，對於整數a,b，具體寫作：

。

除了[a..b]，也有{a..b}和a..b的寫法，意思一樣。

[a..b]的記號被用於一些程式語言，例如Pascal和Haskell。

如果一個整數區間是有界的話，那麼它必然包含最小數a和最大數b。因此，如果想定義去掉最小數或最大數的區間，只需用[a..b-1], [a+1..b]或[a+1..b-1]表示。無需像實數區間般引進 [a..b)或(a..b)的記號。

實數區間一共可分成11種，如下所列。其中a,b是實數，且a為區間的左端點，b為區間的右端點。 ^[8] 

1. 空集：

2.退化區間 (degenrate interval)：

3. 閉區間：

4. 開區間：

5. 左閉右開區間：

6. 左開右閉區間：

有下界但無上界：

7. 左閉：

8. 左開：

有上界但無下界：

9. 右閉：

10. 右開：

11. 雙側無界：

#1、#4、#8、#10、和#11可稱為“開區間”（標準拓撲下是開集），#1、#2、#3、#7、#9和#11可稱為“閉區間”（標準拓撲下是閉集）。#3和#4有時稱為“半開區間”或“半閉區間”。#1和#11同時為“開”和“閉”，並非“半開”、“半閉”。

區間表示法是指在實數線上，以視覺化的方式表示出一個區間的範圍。亦指以區間形式給出（含有一個未知數x的）不等式的解集。

上述的各種區間正是實數軸上的全體連通子集。由此可推得，一個區間在連續函數下的像也是一個區間，這是介值定理的另外一個表述。

區間也恰好涵蓋了實數集的所有凸的子集。另，設X是

的一個子集，如果Y是包含X的最小閉區間（即如果 Z是另一個包含X的閉區間， Y也包含於Z）， 便是Y的凸包。實際上，

。

任意一組區間的交集仍然是區間。兩個區間的並集是區間，當且僅當它們的交集非空，又或者一個區間所不包含的端點，恰好是另一個區間包含的端點。例如：

。

如果把

當作度量空間，它的開球便是區間

（r為正數），閉球便是區間

。

一個n維區間可定義為

的子集，其為n個區間的笛卡爾積，即

。 ^[5] 

n=2時，一般來説是定義了一個長方形，它的長和寬分別平行於兩條座標軸。n=3時，一般的是定義了一個長方體，它的各邊同樣是平行於座標軸。

複數的區間可定義成複平面上的一個區域，兩種合理的選擇是長方形或圓盤。 ^[6] 

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集

及

：

[a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

區間算術的加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集X ( Y + Z )是XY + XZ的子集。 ^[7]