分配律

分配律是離散信號卷積和運算最常用的幾個基本運算規則之一，離散序列卷和運算滿足分配律，即兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷和運算，其結果等於這兩個序列分別與第3個序列先做卷和運算，然後二者再相加。即

。

卷和運算的交換律、結合律、分配律可仿照卷積運算的交換律、結合律、分配律推導過程證明成立，這裏應強調的是，結合律與分配律應用於系統分析時主要用來等效化簡複合系統：兩個子系統並聯組成的複合系統，其單位序列響應等於相併兩子系統單位序列響應的代數和。如圖1（a）所示。兩個子系統級聯組成的複合系統，其單位序列響應等於相級聯兩子系統單位序列響應的卷積和，如圖1（b）所示。 ^[1] 

三個序列卷和運算，任意兩個序列先卷和運算，再與第3個序列作卷和運算，其運算結果等同。即

。

離散序列卷和運算滿足交換律，即兩序列卷和運算與卷和次序無關，即

。 ^[1] 

設有函數

和

，稱積分

為

和

的卷積，常用

來表示，即

。

卷積的物理含義：表示一個函數與另一個函數摺疊之積的曲線下的面積，因而卷積又稱為折積積分。卷積也表明一個函數與另一折疊函數的相關程度。

（1）結合律：三個序列卷和運算，任意兩個序列先卷和運算，再與第3個序列作卷和運算，其運算結果等同。即

。

（2）交換律：離散序列卷和運算滿足交換律，即兩序列卷和運算與卷和次序無關，即

。

（3）分配律：兩個序列先行相加運算再與第3個序列做卷和運算，其結果等於這兩個序列分別與第3個序列先做卷和運算，然後二者再相加。即

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（4）卷積的微分：

。 ^[2]