複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/測度/12757014
複製
複製成功

測度

（數學術語）

鎖定
測度，數學術語。數學上，測度（Measure）是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和概率論有重要的地位。 [1] 
測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在概率論和統計學中都有所體現。
中文名
測度
外文名
Measure
所屬學科
測度論
種    類
計數測度，哈爾測度等
定    義
對給定集合的某些子集指定一個數
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 定義1
  3. ▪ 定義2
  1. 2 相關概念
  2. 3 性質
  3. 4 完備性
  1. 5 例子

測度定義

測度定義1

構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數。我們將此集函數稱為E的測度 [2]  。

測度定義2

設R是集X的環，ρ是R上非負可數加性集函數，且滿足ρ(∅)=0，則稱ρ是定義在(X,R)上的一個(正)測度。 [5-6] 

測度相關概念

Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別地，若ρ(X)=1，則稱ρ為概率測度。 [4] 

測度性質

下面的一些性質可從測度的定義導出： [3] 
單調性
測度
的單調性： 若
和
為可測集，而且
，則
。
可數個可測集的並集的測度
若
為可測集（不必是兩兩不交的），則集合
的並集是可測的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：
如果還滿足並且對於所有的
，
，則如下極限式成立：
可數個可測集的交集的測度
若
為可測集，並且對於所有的
，
，則
的交集是可測的。進一步説，如果至少一個
的測度有限，則有極限：
如若不假設至少一個
的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個
，令
這裏，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。

測度完備性

一個可測集
稱為零測集，如果
。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。
一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮
的所有這樣的子集 F，它與某個可測集 E僅差一個可去集，也就是説 E與 F的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集 F生成的σ代數，並定義
的值就等於
。

測度例子

下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。 [2] 
計數測度定義為
的“元素個數”。
一維勒貝格測度是定義在
的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足
的唯一測度。
Circular angle測度是旋轉不變的。
局部緊羣上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
恆零測度定義為
，對任意的
。
每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間[0,1]中）。這就是所謂概率測度。見概率論公理。
其它例子，包括：狄拉克測度、博雷爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。
參考資料
  • 1.    M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • 2.    H.L.Royden．Real Analysis：China Machine Press，2006
  • 3.    R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • 4.    John B. Conway．泛函分析教程 第2版：Springer，2007
  • 5.    Gerald B. Folland．實分析 第2版：WILEY，1999
  • 6.    Paul R. Halmos．測度論：Springer，1974