概率測度

測度空間(X,Ω,μ)中的測度μ若滿足μ(X)=1，則稱μ為概率測度。 ^[4] 

函數μ作為概率空間，它的概率測度的要求是：

（1）μ必須以在[0，1]之內返回結果，返回0為空集，返回1為整個空間。

（2）μ必須滿足所有可數集合

中不相交集合可加的屬性：

例如，給定概率為1/4，1/4和1/2的三個元素1,2和3，分配給{1,3}的值為1/4 + 1/2 = 3/4，如圖1。

基於事件交點的條件概率定義為：

只要P（A）不為零，就滿足概率測度要求。

概率測度與模糊測度的概念不同，其中模糊值不需要總和為1，並且添加屬性由基於集合包含的順序關係替代。 ^[2] 

概率測度(probability measure)是概率論、遍歷理論等數學分支中常用的一種重要的有限測度。

在數學中，概率測度是在滿足測度屬性（如可加性）的概率空間中的一組事件上定義的實值函數。概率測度與一般的測度概念（包括像面積或體積等概念）之間的差異在於：概率測量整個概率必須為1。

直觀地，加和性表明，通過測度分配給兩個不相交事件的並集的概率應該是事件的概率的總和。例如， 在一個模具的投擲中分配給“1或2”的概率值應該是分配給“1”和“2”的概率值的總和。

概率測度在物理學，財務和生物學領域都有應用。 ^[1] 

基於實際市場變化將金融市場進行概率分配是數學融資中所關注的概率測度的一個例子。 在金融衍生品的定價中，例如，風險中性措施是一種概率測度，它假設資產的當前價值是相對於同樣的風險中性量度（即使用相應的風險中性密度函數計算）的未來收益的預期值，以無風險利率體現。 如果有一個概率測度，必須用於對市場中的資產進行定價，那麼市場就被稱為一個完整的市場。

不是所有直觀地可能都是概率測度。 例如，雖然統計力學系統的基本概念是度量空間，但這些並不總是概率測度。一般來説，在統計物理學中，如果我們考慮“系統S假設狀態A為p的概率”的句子，那麼系統的幾何並不總是導致在一致性下的概率測量的定義。

概率測量也用於數學生物學，例如，在比較序列分析中，概率測量可以針對序列中的氨基酸允許的變體可能性來定義。

在測量理論中，勒貝格測度（Lebesgue measure）是將測度分配給n維歐幾里德空間子集的標準方法。 對於n = 1，2或3時，它可以對長度，面積或體積進行標準度量。 一般來説，它也稱為n維體積，n-體積或簡單體積。它可以在實際分析中使用，特別是在定義勒貝格積分時得到應用。勒貝格測度通常表示為dx。

給定一個歐幾里德空間中的子集E，定義區間I=[a，b]且區間長度為L(I)=b-a，滿足E包含於

，則E的勒貝格外部測度為

：

勒貝格測度是在勒貝格σ代數上定義的，它是所有滿足條件的子集E的集合，條件為，對於每個歐幾里德空間的子集A有：

對於勒貝格σ代數中的任何集合，其勒貝格測度均由其勒貝格外部測度給定：

不包含在勒貝格σ代數的集合不是勒貝格可測度的。

一般地，實數的任何閉區間[a，b]是勒貝格可測度的，其勒貝格測度是長度b - a。開區間（a，b）的勒貝格測度同上，這是因為兩組之間的差異僅由端點a和b組成。 ^[3] 

區間[a,b]和[c,d]的任意笛卡爾乘積是勒貝格可測度的，其勒貝格測度是（b-a）（d-c），代表相應矩形的面積。

任何可數的實數集的勒貝格測度均為0。

如果確定性公理成立，那麼所有的集體都是勒貝格可測度的。

簡單平面曲線的圖像也是勒貝格可測度的。

在數學中，特別是在測量理論中，拓撲空間上的博雷爾測度（Borel measure）是在所有開集（以及所有博雷爾集）上定義的度量。

定義X為豪斯多夫空間的集合，B(X)為包含X中所有開集合的最小σ代數，這被稱為博雷爾集合的σ代數。博雷爾測度是在伯雷爾集合的σ代數上定義的任何測度

。

一般地，歐幾里得空間R與其通常的拓撲結構是一個局部緊湊的Hausdorff空間，因此我們可以定義一個博雷爾測度。在這種情況下，B(R)為包含R中所有開集合的最小σ代數，這被稱為博雷爾集合的σ代數。雖然理論上會存在很多Borel測度μ，但是對於半開區間(a，b]的博雷爾測度恆為

=((a，b])=b-a。這一測度結果表明，被定義在博雷爾σ代數上的博雷爾測度，同樣被定義在勒貝格σ代數上。由此可見，博雷爾測度和勒貝格測度在博雷爾集合上的測度結果一致，對於每一個博雷爾可測度的集合，均滿足

。

使概率測度與勒貝格測度相關聯的變量是概率密度函數，具體原理為拉東-尼古丁定理。

博雷爾測度與對定義在其上的集合的勒貝格測度結果一致， 然而還有比博雷爾可測集更多的勒貝格可測量集。博雷爾測度不變量，但不完整。