開集

假設X是一個集合， 如果存在一系列X的子集合滿足下面的條件，那麼每個這樣的子集就稱為X的一個開集，X稱為拓撲空間。

（1）空集和X為開集；

（2）有限多個開集之交為開集（無窮多個開集的交集未必是開集）；

（3）任意多個開集之併為開集。

設A是度量空間X的一個子集。如果A中的每一個點都有一個以該點為中心的鄰域包含於A，即A中每個點都是A的內點，則稱A是度量空間X中的一個開集。用集合的語言來説就是：

對任意x∈A，存在δ>0，使得B(x,δ)⊆A。

還可以從另一個角度來定義開集，就是如果一個集合不含邊界點（或沒有邊界點），這個集合就叫開集。即如果A∩∂A=∅，那麼A是開集。

可以證明這兩個定義是等價的。

若A中每個點都是內點，則顯然這些點都不是邊界點，因此A∩∂A=∅。反之，如果A∩∂A=∅，則要麼A是空集，要麼∂A是空集，要麼A中的點都不是邊界點。當A是空集時，根據規定，空集為開集，因此A是開集。當∂A是空集時，X中的點要麼是A的內點，要麼是A的外點。而顯然，所有外點都不屬於A，所以A中的點都是A的內點，即A是開集。當A中的點都不是邊界點時，因為所有外點都不屬於A，所以屬於A的當然就剩下內點了，即A是開集。

閉集有一種定義類似於開集的另一定義。若一個集合的邊界點包含於該集合，即∂A⊆A，那麼稱A是一個閉集。當然閉集還有其他定義，具體可以參考相關詞條。

賦予實數空間R絕對值度量，對應的開集稱為通常拓撲。

（1）鄰域是開集。

所謂以p為中心，r為半徑的鄰域B(p,r)，指的是滿足|p-q|<r的所有點q的集合。這裏的|p-q|是度量空間X中的距離，r是正數。

設q是鄰域B(p,r)中的任意一點，d是p和q之間的距離，那麼0≤d<r，從而r-d>0。設h=r-d>0，於是可以取鄰域B(q,h)，在這個鄰域上的任意一點s與q之間的距離|q-s|<h。根據三角不等式，

即s∈B(p,r)。

因為s是鄰域B(q,h)中的任意一點，既然B(q,h)的任意一點都屬於B(p,r)，可知B(q,h)⊆B(p,r)，所以q是內點。根據q的任意性可知B(p,r)上所有點都是內點，因此B(p,r)是開集。

在一維空間（即數軸上），鄰域就是開區間，所以開區間是開集。

（2）A是開集當且僅當它的補集是閉集。

證明需要根據閉集的其他定義進行，這裏省略。

從這條性質可以知道，因為空集是開集，所以它的補集X是閉集。因為X是開集，所以它的補集∅是閉集。即空集和X既是開集又是閉集。

（3）任意多個開集之併為開集。

設

是一組開集，其中a可以是有限個也可以是無限個。又設它們的並集

，那麼對於E中的任意一點x，它至少屬於某個E_a。因為E_a是開集，所以x是E_a的內點，從而存在δ>0，使得B(x,δ)⊆E_a⊆E，即x是E的內點。根據x的任意性可知E中任意一點都是內點，因此E是開集。

（4）有限多個開集之交為開集。

設

是一組開集，i是有限的自然數。又設它們的交集

，若E空，則E是開集，命題得證。若E非空，那麼對於E中任意一點x，它是這n個開集的公共點，所以存在δ_i，i=1,2,3,…n，使得每個鄰域B(x,δ_i)⊆E_i。取δ=min{δ_i}，那麼鄰域B(x,δ)將包含於每個E_i中，即B(x,δ)⊆E，因此x是內點。根據x的任意性可知E中任意一點都是內點，因此E是開集。

要注意的是無限個開集的交不一定是開集，如在數軸上取開區間(-1/n,1/n)，當n→∞時，這無數個開區間的交集為{0}，而只有一個點的集合一定是閉集。

（5）A的內點所構成的集合（稱為A的內部，用符號A°或int(A)來表示）是包含在A中的最大開集，換言之，A的內部是開的，而且對於任意一個開集E⊆A，都有E⊆A°。

根據A°的定義很快知道A°是開集，現證明A°是A中的最大開集。

假設存在某個開集E⊆A，它比A°大，那麼必然有一些點x滿足x∈E但x∉A°。且因為E是開集，x是E的內點。而根據性質（3），因為A=E∪A，x也是A的內點，所以x∈A°，矛盾。

（6）開集與閉集的差集仍是開集。

設X是一個全集，E和F是X的子集。所謂集合E與F的差集，指的是X中所有滿足x∈E而x∉F的點x構成的集合。

設F在X中的補集為F_c，如果x∉F，那麼x∈F_c，所以E-F=E∩F_c。若E是開集，F是閉集，根據性質（2），F_c是開集。再根據性質（4），E∩F_c=E-F是開集。

注意，開集與開集的差集可能是開集，也可能是閉集，還可能是非開非閉集。如：

直線上的開區間(0,1)與開區間(2,3)都是開集，它們的差集為(0,1)仍是開集。

直線上的開區間(0,100)與(0,1)∪(99,100)都是開集，它們的差集為[1,99]是閉集。

直線上的開區間(0,100)與(0,99)都是開集，它們的差集為[99,100)是非開非閉集。

1) 開集： 若點集 的點都是 的內點，則稱 為開集．例如 是開集．

2) 閉集： 若點集 的餘集 為開集，則稱 為閉集．例如 是閉集．應當指出的是： 既非開集亦非閉集．

3) 連通集： 若點集E內的任意兩個點，都可用折線連接起來，且該折線上的點都屬於 ，則稱 為連通集．

4) 區域(或開區域)： 連通的開集稱為區域或開區域．

5) 閉區域： 開區域連同它的邊界一起所構成的集合叫閉區域．例如 是區域，而 是閉區域．

6) 有界集： 對於平面點集 ，若存在一個正數 使 ,其中O是座標原點，則稱 為有界集．

7)無界集： 一個集合 若不是有界集，則稱 為無界集．例如 為有界閉區域， 為無界閉區域； 為無界開區域．

注：應該注意到閉區域雖然包含有邊界，但它也有可能是無界的；開區域是不含有邊界的，但它也可能為有界域． ^[1] 

針對傳統ASM對面部輪廓點定位不夠理想的問題,本文提出了一種局部輪廓約束的主動形狀模型(Local Profile Constraint ASM)。該模型對傳統ASM有兩個方面的改進:其一,將候選點的輪廓強度作為自調節權重加入ASM的局部紋理匹配函數,使最佳匹配點更易被吸引到面部輪廓上。其二,引入全變分模型(TVM)作為圖像實施標定前的預處理,在保留足夠用於標定的紋理信息前提下,增強輪廓點與其一維鄰域點的輪廓強度對比。在BioID人臉庫上的大規模測試結果表明,該方法有效地提高了輪廓點的定位精度,為後續的特徵比對打下良好的配準基礎。 3.研究了特徵比對中的開集識別問題,提出基於Adaboost的開集人臉識別算法。 人臉圖像識別系統中,特徵比對算法直接影響到識別系統性能,是識別算法最核心的問題。本文針對特徵比對算法中的開集問題,即有拒識的識別問題,提出一種新穎的解決方案。利用樣本的幾何變換,減小正負樣本相似度之間的重疊區域,擴大正負樣本集間距離,進而對一般的基於Adaboost的閉集人臉識別方法作出改進。同時,使用兩層識別結構和樣本變換預處理策略,提高識別速度。 ^[2] 

提出了一種對相似度空間進行尋優的新方法,以提高開集人臉識別的準確率.該方法首先將開集識別問題轉化為二分類問題,然後引入尋優方法尋找分割相似度空間的最優超平面,該超平面能夠將相似度空間分割為接受空間和拒絕空間兩部分.在判別過程中,利用相似度向量在空間中的位置判斷樣本是否為已知類.由於利用了相似度空間中向量分佈的信息,訓練出的特徵具有更強的分類能力.通過不同人臉庫的實驗表明,相對於傳統的方法,本文所提的方法能顯著地提高開集識別的準確率. ^[3]