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並集
鎖定
給定兩個集合A,B,把他們所有的元素合併在一起組成的集合,叫做集合A與集合B的並集,記作A∪B,讀作A並B。
- 中文名
- 並集
- 外文名
- union
- 符 號
- ∪
- 概 念
- 把A與B合併在一起組成的集合
- 關鍵詞
- 並集、交集
- 應用學科
- 數學
並集定義
若A和B是集合,則A和B並集是有所有A的元素和所有B的元素,而沒有其他元素的集合。A和B的並集通常寫作 "A∪B",讀作“A並B”,用符號語言表示,即:A∪B={x|x∈A,或x∈B}。符號“U”既具有操作意義又具有結構意義。
[4]
並集代數性質
二元並集(兩個集合的並集)是一種結合運算,即A∪(B∪C) = (A∪B) ∪C。事實上,A∪B∪C也等於這兩個集合,因此圓括號在僅進行並集運算的時候可以省略。相似的,並集運算滿足交換律,即集合的順序任意。
空集是並集運算的單位元。 即 ∅ ∪A=A。對任意集合A,可將空集當作零個集合的並集。
結合交集和補集運算,並集運算使任意冪集成為布爾代數。 例如,並集和交集相互滿足分配律,而且這三種運算滿足德·摩根律。 若將並集運算換成對稱差運算,可以獲得相應的布爾環。
並集無限並集
最普遍的概念是:任意集合的並集。若 M 是一個集合的集合,則 x 是 M 的並集的元素,當且僅當存在 M 的元素 A,x 是 A 的元素。即:
無論集合 M 本身為何,M 的並集是一個集合,這就是公理集合論中的並集公理。
[2]
例如:A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的並集。同時,若 M 是空集, M 的並集也是空集。有限並集的概念可以推廣到無限並集。
上述概念有多種表示方法:集合論科學家簡單地寫
, 而大多數人會寫為
。 後者可推廣為
, 表示集合 {Ai : i is in I} 的並集。這裏
是一個集合,
是一個
的集合。在索引集合
是自然數集合的情況下,上述表示和求和相類似:
同樣,也可以寫作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". (這是一個可數的集合的並集的例子,在數學分析中非常普遍;參見σ-代數)。最後,要注意的是,當符號"∪" 放在其他符號之前,而不是之間的時候,要寫的大一些。 交集在無限並集中滿足分配律,即
,
。 結合無限並集和無限交集的概念,可得
。
並集性質
並集韋恩圖表示
並集交集的性質
關於交集有如下性質:
A∩B⊆A
A∩B⊆B
A∩A=A
A∩∅=∅
A∩B=B∩A;
並集並集的性質
關於並集有如下性質:
A∪B⊇A
A∪B⊇B
A∪A=A
A∪∅=A
A∪B=B∪A
若A∩B=A,則A∈B,反之也成立;
若A∪B=B,則A∈B,反之也成立。
若x∈(A∩B),則x∈A且x∈B;
並集舉例
集合{1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的並集是 {1, 2, 3, 4}。數字 9 不屬於質數集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶數集合{2, 4, 6, 8, 10, …} 的並集,因為 9 既不是素數,也不是偶數。
更通常的,多個集合的並集可以這樣定義:例如,A, B 和 C 的並集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而沒有其他元素。
形式上,x是 A∪B ∪C 的元素,當且僅當x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。
- 參考資料
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- 1. 人教版高一數學交集 並集 .大慧網.2006-3-30[引用日期2014-06-20]
- 2. Patrick Suppes,莫紹揆,呂義忠. 公理集合論[J].1981,(Z1):1-116+3. [2017-08-27]. .知網[引用日期2017-08-27]
- 3. 張厚品. 韋恩圖的起源[J]. 數學教學,2005,(07):48-49. [2017-08-27]. .知網[引用日期2017-08-27]
- 4. 傅強.例談錯誤使用並集符號的幾種情況[J].中學數學研究(華南師範大學):上半月,2004,11(9):17-18