度量空間

設X為一個集合，一個映射d:X×X→R。若對於任何x,y,z屬於X，有

（I）（正定性）d(x,y)≥0，且d(x,y)=0當且僅當x=y；

（Ⅱ）（對稱性）d(x,y)=d(y,x）；

（Ⅲ）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）

則稱d為集合X的一個度量（或距離）。稱偶對(X,d)為一個度量空間，或者稱X為一個對於度量d而言的度量空間。

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函數間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。

度量空間中最符合我們對於現實直觀理解的是三維歐氏空間。這個空間中的歐幾里德度量定義兩點之間距離為連接這兩點的線段的長度。 ^[2] 

度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函數，滿足如下條件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);

則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ).設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間.如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離.當ρ(x，y)=0時，記x～y.～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函數ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間.

度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x₀∈R，存在常數M，使ρ(x₀，x)≤M對A中的一切x成立.設x₀∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x₀)<r}為以x₀為中心，r為半徑的開球，或x₀的r鄰域，記為O(x₀，r).又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集.R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。

度量空間是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1906年引進的，它是現代數學中的一種基本而重要並且非常接近於歐幾里得空間的抽象空間，也是泛函分析的基礎之一。

度量空間M的子集S的閉包cl(S)為M中包含S的最小閉集。

度量空間M中一點x的任一空心開球若包含S中至少一點，則x稱為S的極限點或聚點。

度量空間M的子集S稱為稠子集，若其閉包為M。若M中一點x的任一開球包含S中至少一點，則S為稠子集。

度量空間稱為可分度量空間，若其包含可數稠子集。 ^[5] 

設X為任一非空集合，定義映射d:X×X→R如下

⑴對於X中任意元素x,d(x,x)=0;

⑵如果x,y是X中兩個不同元素，則d(x,y)=1.

則這樣定義的d滿足（I）（Ⅱ）（Ⅲ），是集合X的一個度量。這樣的度量稱為離散度量。

證明：度量空間中收斂序列的極限是唯一的 ^[3] 

設{a_n}收斂於a且收斂於b。則對任意u>0，存在N使得對n>N有d(a_n,a)<u/2且d(a_n,b)<u/2，所以d(a,b)<=d(a_n,a)+d(a_n,b)<u/2+u/2=u。d(a,b）為非負常數，且小於任一正數u>0，故必有d(a,b)=0，所以a=b

由所有的 n元實數組（x1,x2，…，xn）構成集合Rn,Rn中元素x=(x1,x2，…，xn)

與y=(y1,y2，…，yn）之間的距離定義為

其中R表示實數集合。定義元素x=(x1x2，…，xn，…）及y=(y1，y2，…，yn…）之間的距離為

B={(x1,x2，…，xn，…）│（xn∈R,n=1,2，…）}對於兩個不同的元素x=(x1,x2，…，xn，…）及y=(y1,y2，…，yn，…），用m（x,y）表示滿足 xn≠yn的最小標號n，定義x與y之間的距離為：

再規定d(x,x)=0（x∈B）。一般假設Ω是任意一個集合，取X={(x1,x2，…xn，…）|xn∈Ω），可以按同樣的方法定義m(x,y）與d（x,y），得到的度量空間也稱作貝爾空間。

處理分析問題時，根據具體情況需要可以引入種種函數空間。例如，考慮定義於閉區間[0,1]上的一切連續實值函數的集合，就可以定義兩個函數ƒ 和g的距離為

對於度量空間X，可以利用它的度量d 引進一個拓撲結構，其基的元就是所有的開球B(x,r)={y∈X|d(x,y)<r}。這種拓撲結構稱為由度量d 產生；同一集合上，不同的度量可以產生相同的拓撲結構。

例如，對於實數集R,d(x,y)=|x-y|與

就產生同一個拓撲結構。度量不是拓撲概念。

在度量空間中可以用距離定義點列的收斂概念：x_n→x₀就是指d(x_n,x₀)。點列{x_n}稱為柯西點列，是指對任意正實數ε，都存在自然數N，使得m、n≥N時有可以證明收斂點列一定是柯西點列，反過來並不成立。每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。這類空間有許多好的性質。例如，完備度量空間中壓縮映射原理成立。可以用它證明微分方程、積分方程以及無限線性代數方程組的一系列存在唯一性定理。度量空間X的任何子集Y配上原有的距離也成為度量空間，稱作X的子空間。如果每個開球{x∈X|d(x0,x)<r}都含有Y 的點，便説Y是X 的稠密子空間。

每一度量空間X都是另一完備度量空間的稠密子空間，而且由X唯一構造出來。例如，實數直線就是有理數集的完備化，20世紀初建立嚴密的數學分析理論正是基於這一重要事實。

可以證明：在完備度量空間中可數多個稠密開子集的交仍是稠密集。 ^[4] 

度量空間具有許多良好性質，例如，它滿足第一可數公理，它是豪斯多夫空間，正規空間，還是仿緊空間。此外對度量空間而言，緊緻性等價於下列三條中的任一條：①任何可數開覆蓋都有有限子覆蓋；②每一無限子集都在空間中有聚點：③每一點列都有收斂子列。

一個拓撲空間的拓撲結構在什麼條件下能作為一個度量空間的拓撲？這是點集拓撲理論中的一個重要問題，稱作度量化問題。對於度量化問題的兩個最主要的結果一個是Urysohn度量化定理，即每一個第二可數的正規Hausdorff空間可度量化（通常會在點集拓撲的課程中介紹），另一個則是Bing-Nagata-Smirnov度量化定理，即一個拓撲空間可度量化當且僅當它是正則Hausdorff空間並且具有一個可數的局部有限基。