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空集
鎖定
- 中文名
- 空集
- 外文名
- empty set
- 基本釋義
- 不含任何元素的集合
- 符 號
- Ø
- 歸屬學科
- 數學
- Latex表示
- \varnothing
- 所屬分類
- 集合論
空集定義
空集表示方法
用符號Ø或者{ }表示。
注意:{Ø}是有一個Ø元素的集合,而不是空集。
在LaTeX中空集表示代碼 \emptyset 。
0是一個數,不是集合。
{0}是一個集合,集合只有0這個元素。
Ø是一個集合,但是不含任何元素。
{Ø}是一個非空集合,集合只有空集這個元素。
空集空集舉例
當兩圓相離時,它們的公共點所組成的集合就是空集;
當一元二次方程的根的判別式值△<0時,它的實數根所組成的集合也是空集。
空集性質
對任意集合 A,空集是 A 的子集:∀A:Ø ⊆ A;
對任意集合 A,空集和 A 的並集為 A:∀A:A ∪ Ø = A;
對任意非空集合 A,空集是 A的真子集:∀A,,,若A≠Ø,則Ø 真包含於 A。
對任意集合 A,空集和 A 的交集為空集:∀A,A ∩ Ø = Ø;
對任意集合 A,空集和 A 的笛卡爾積為空集:∀A,A × Ø = Ø;
空集的唯一子集是空集本身:∀A,若 A ⊆ Ø ⊆ A,則 A= Ø;∀A,若A= Ø,則A ⊆ Ø ⊆ A。
空集的元素個數(即它的勢)為零;
特別的,空集是有限的:| Ø | = 0;
對於全集,空集的補集為全集:CUØ=U。
集合論中,若兩個集合有相同的元素,則它們相等。那麼,所有的空集都是相等的,即空集是唯一的。
考慮到空集是實數線(或任意拓撲空間)的子集,空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集,是它的子集,因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集,是它的子集,因此空集是開集。另外,因為所有的有限集合是緊緻的,所以空集是緊緻集合,。
空集的閉包是空集。
空集公理集合論
使用分離公理,任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如:若 A 是集合,則分離公理允許構造集合
,它就可以被定義為空集。
空集空集和零
根據定義,空集有 0 個元素,或者稱其勢為 0。然而,這兩者的關係可能更進一步:在標準的自然數的集合論定義中,0 被定義為空集。實數0與空集是兩個不同的概念,不能把0或{0}與Ø混為一談。
空集範疇論
若A為集合,則恰好存在從{ }到A的函數f,即空函數。結果,空集是集合和函數的範疇的唯一初始對象。
定義:不含任何元素的集合稱為空集。
關於補集,補集的概念是相對而言的,集合A在不同的全集中的補集是不同的,所以在描述補集概念時,一定要註明。集合A中子集B的補集或餘集記為CAB ,簡單的説集合A的補集是沒有意義的。
如,{0}是含有一個元素的集合,Ø是不含任何元素的集合,因此,有Ø⊆{0},不能寫成Ø={0} 或Ø∈{0}。