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集合
(數學概念)
鎖定
- 中文名
- 集合
- 外文名
- set
- 所屬學科
- 集合論
- 簡 稱
- 集
- 提出者
- 康托爾
- 創立時間
- 19世紀
- 定 義
- 具有某種特定性質的具體的或抽象的對象彙總而成的集體
集合定義
集合簡介
集合概念
例如,全中國人的集合,它的元素就是每一箇中國人。通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素,則稱x屬於S,記為x∈S。若y不是集合S的元素,則稱y不屬於S,記為y∉S
[2]
。
集合集合的類型
集合有限集和無限集
集合中元素的數目稱為集合的基數,集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時,集合A稱為有限集,反之則為無限集。
[4]
一般的,把含有有限個元素的集合叫做有限集,含無限個元素的集合叫做無限集。
[4]
集合空集
- 空集∅是任意一個非空集合的真子集。
集合集合中元素的特性
集合確定性
集合互異性
集合無序性
集合元素與集合的關係
集合屬於
集合不屬於
集合集合的表示
集合列舉法
列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉,但可以將它們的變化規律表示出來的情況。如正整數集
和整數集
可以分別表示為
和
。
集合描述法
描述法的形式為{代表元素|滿足的性質}。
設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的,則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合:S={x|P(x)}。例如,由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x2=2}。而有理數集
和正實數集
則可以分別表示為
和
[6]
。
集合圖像法
集合區間法
設a,b(a<b)是兩個相異的實數,則滿足不等式a<x<b的所有實數x的集合稱為以a,b為端點的開區間,記為
;滿足不等式
的所有實數的集合稱為以a,b為端點的閉區間,記為
;滿足不等式
或
的所有實數x的集合稱為以a,b為端點的半開半閉區間,分別記為
及
。除此之外,還有下述幾類無限區間
[5]
:
集合符號法
N:非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}
N*或N+:正整數集合{1,2,3,…}
Z:整數集合{…,-1,0,1,…}
Q:有理數集合
Q+:正有理數集合
Q-:負有理數集合
R:實數集合(包括有理數和無理數)
R+:正實數集合
R-:負實數集合
C:複數集合
集合集合間的基本關係
集合子集與真子集
設S,T是兩個集合,如果S的所有元素都屬於T ,即
則稱S是T的子集,記為
(讀作S含於T)。顯然,對任何集合S ,都有
。
[3]
其中,符號
讀作包含於,表示該符號左邊的集合中的元素全部是該符號右邊集合的元素。如果S是T的一個子集,即
,但在T中存在一個元素x不屬於S ,即
,則稱S是T的一個真子集。
[5]
集合交併集
交集定義:由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合,記作A∩B(或B∩A),讀作“A交B”(或“B交A”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}, 如圖1所示。注意交集越交越少。若A包含B,則A∩B=B,A∪B=A。
[5]
並集定義:由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合,記作A∪B(或B∪A),讀作“A並B”(或“B並A”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B},如圖1所示。注意並集越並越多,這與交集的情況正相反。
[5]
集合相等集合
如果集合A是集合B的子集(
),且集合B是集合A的子集(
),此時,集合A與集合B中的元素相同,因此集合A與集合B相等。
集合補集
補集又可分為相對補集和絕對補集。
集合冪集
集合模糊集
用來表達模糊性概念的集合,又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的,界限分明的。因此每個對象對於集合的隸屬關係也是明確的,非此即彼。但在人們的思維中還有着許多模糊的概念,例如年輕、很大、暖和、傍晚等,這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答,而模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。
由於概念本身不是清晰的、界限分明的,因而對象對集合的隸屬關係也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.扎德於1965 年首先提出的。模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用於處理模糊性現象,從而構成了模糊集合論(中國通常稱為模糊性數學)的基礎。
[6]
集合運算定律
交換律:A∩B=B∩A;A∪B=B∪A
結合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配對偶律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
對偶律:(A∪B)^C=A^C∩B^C;(A∩B)^C=A^C∪B^C
同一律:A∪∅=A;A∩U=A
求補律:A∪A'=U;A∩A'=∅
對合律:A''=A
等冪律:A∪A=A;A∩A=A
零一律:A∪U=U;A∩∅=∅
吸收律:A∪(A∩B)=A;A∩(A∪B)=A
反演律(德·摩根律):(A∪B)'=A'∩B';(A∩B)'=A'∪B'。文字表述:1.集合A與集合B的並集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的交集; 2.集合A與集合B的交集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的並集。
容斥原理(特殊情況):
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
集合地位
集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的,經過一大批科學家半個世紀的努力,到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位,可以説,現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。
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- 參考資料
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- 1. 劉寶宏編著.離散數學:機械工業出版社,2014.07:1-3
- 2. 吳奕,李瓊,胡福林主編.離散數學及其應用:華中科技大學出版社,2017.08:2
- 3. 華東師範大學數學系.數學分析:高等教育出版社,2010-7
- 4. 陳紀修,於崇華,金路 .數學分析:高等教育出版社,2004-6
- 5. Walter Rudin .數學分析原理:機械工業出版社,2004-01
- 6. 辛欽.數學分析八講:人民郵電出版社,2010
- 7. 徐潔磐主編.離散數學簡明教程:中國鐵道出版社,2015.09:6-8
- 8. Masoud Khalkhali.Basic Noncommutative Geometry:歐洲數學會,2013
- 9. 劉紹學主編.普通高中課程標準實驗教科書 數學1 必修 A版.北京市:人民教育出版社,2007年1月第2版:第1-2頁
- 10. 韓廣恩(數學),劉航飛(物理),楊雲霞(化學),閆鋒(生物)編.高中數理化生公式定理大全.吉林省長春市:長春出版社,2017年05月第2版:第3頁
- 11. 韓廣恩(數學),劉航飛(物理),楊雲霞(化學),閆鋒(生物)編.高中數理化生公式定理大全.吉林省長春市:長春出版社,2017年05月第2版:第3頁
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