拓撲

從幾何的角度來看，拓撲學的源頭可以追溯到1736年，L.歐拉（L.Euler，1707－1783年）發表了真正屬於拓撲學的第一篇論文。 ^[2]  該論文研究的問題源起於18世紀，即哥尼斯堡七橋問題。

在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。

1736年，有人帶着這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出瞭解答。歐拉把七橋問題抽象成一個合適的“數學模型”。他想:兩岸的陸地與河中的小島, 都是橋樑的連接點, 它們的大小、形狀均與問題本身無關。因此, 不妨把它們看作是4個點。7座橋是7條必須經過的路線, 它們的長短、曲直, 也與問題本身無關。因此, 不妨任意畫7條線來表示它們。就這樣, 歐拉將七橋問題抽象成了一個“一筆畫”問題。怎樣不重複地通過7座橋, 變成了怎樣不重複地畫出一個幾何圖形的問題。

經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數目不是0個就是2個（連到一點的數目如果是奇數條，就稱為奇點；如果是偶數條，就稱為偶點。要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端。因此任何圖能一筆畫成，奇點要麼沒有，要麼在兩端） ^[3] 

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、稜數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關係：f+v-e=2 ^[4]  。

1751年，歐拉給出了上述命題的證明，但其證明存在缺點。1794年，法國數學家A.M.勒讓德(A.M.Legendre，1752－1833年)對歐拉的這個命題給出了巧妙的證明，並將歐拉的凸多面體條件推廣到球面。1811年，法國數學家A.L.柯西(A.L.Cauchy，1789－1857年)又重新給出了證明。 ^[5] 

根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。

它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。

四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的格斯里（Francis Guthrie）來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現每幅地圖都可以只用四種顏色着色。這個現象能不能從數學上加以嚴格證明呢？他和他正在讀大學的弟弟決心試一試，但是稿紙已經堆了一大疊，研究工作卻是沒有任何進展。 ^[6] 

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣佈證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億次判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。

拓撲學（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究圖形（或集合）在連續變形下的不變的整體性質的一門幾何學。由於早期研究的是直觀拓撲學，因此人們又把這種研究連續變換下不變的性質的學科形象地稱為“橡皮幾何學”或“橡皮膜上的幾何學”，也就是説橡皮膜在不被弄破的情況下，不管如何拉伸、壓縮、扭轉等變形而存在着某些不變的性質。因此，研究這些不變性成為拓撲學研究的中心課題。中文“拓撲學”一詞最早由陳省身根據英文Topology音譯而來。 ^[1] 

拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。

舉例來説，在通常的平面幾何裏，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裏所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裏沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。

什麼是拓撲呢？拓撲研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話説，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在着一一對應的關係，並且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。

拓撲有一個形象説法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8。拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裏不再介紹。

所謂拓撲學，簡要地説，就是研究空間圖形在連續變換下不變的性質。換言之，在原來圖形的點與變換了的圖形的點之間存在一個一一對應，並且鄰近的點變成鄰近的點，這一性質叫做連續性，該變換叫做拓撲變換。 ^[7] 

拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學裏不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地説，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。

應該指出，環面不具有這個性質。設想，把環面切開，它不至於分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就説球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯（1790～1868）在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：

（1）X和空集{}都屬於T；

（2）T中任意多個成員的並集仍在T中；

（3）T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X，T）。

稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

一個指定了拓撲T的集合X叫做一個拓撲空間，確切地説，一個拓撲空間就是一個有序偶對（X，T），其中X是一個集合，T是X上的一個拓撲。

定義中的三個條件稱為拓撲公理（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中）。

從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。

設

與

為給定集合X上的兩個拓撲。若有關係

，則稱

細於

（也稱為

粗於

），若

是真包含關係，則稱

嚴格細於

（

嚴格粗於

）。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。

若X為任意的一個集合，X的所有子集的族是X的一個拓撲，稱之為離散拓撲；僅由X和空集組成的族也是X的一個拓撲，稱之為平凡拓撲。離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。 ^[8] 

一般説來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此説到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。

同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f：（X，T1） ------> （Y，T2） （T1，T2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。

（1）歐幾里德空間在通常開集的意義下是拓撲空間，它的拓撲就是所有開集組成的集合。

（2）設X是一個非空集合。則集合t：{X，{}}是X的一個拓撲。稱t為X的平凡拓撲。顯然（X，t）只有兩個開集，X和{}。

（3）設X是一個非空集合。則X的冪集T=2^X也是X的一個拓撲。稱T為X的離散拓撲。顯然X的任意子集都是（X，T）的開集。

（4）一個具體的例子。設X={1，2}。則{X，{}，{1}}是X的一個拓撲，{X，{}，{2}}也是拓撲，{X，{}，{1}，{2}}是拓撲（由定義可知）.

莫比烏斯帶是一種拓撲圖形，公元1858年，莫比烏斯發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

這種單側曲面的性質當時並沒有得到數學家的重視，後來，由於單側曲面而引入拓撲學的一種性質――可定向性，即一個能定向的曲面，如果它能三角剖分，並且能指定全體三角形的定向，使得在作為兩個三角形的一條公共邊上所誘導出來的定向相反。 ^[9] 

拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同圖1那樣粘成一個莫比烏斯帶。像圖1中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖1中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想象出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套着的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新粘貼則會變成數個Paradromic。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得瞭解決！

比如在普通空間無法實現的手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有着本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麼扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麼解決起來就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有着極大的不同。

“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

1847年，C.F.高斯（C.F.Gauss，1777－1855年）的學生J.B.李斯亭(J.B.Listing,1808-1882年)首先將Topology一詞引進到數學中。在此之前，德國數學家G.W.萊布尼茲（G.W.Leibniz,1646-1716年）曾稱之為位置分析，龐伽萊在1895年就以《位置分析》為名發表了系列論文，從原初由分析的需要而提出的一些幾何問題發展成為一門專門的學科，標誌着拓撲學的誕生。這是繼歐幾里得幾何、解析幾何、微分幾何、射影幾何之後的又一門新的幾何學。如果以龐伽萊建立這門學科來算，其發展歷程也不過百年的時間，業已成為現代數學的三大基礎學科之一，甚至數學家們發自內心的感慨：“不懂拓撲就不能懂得現代數學”。 ^[6] 

法國布爾巴基學派成員、數學家J.A.迪多內（J.A.Dieudonné,1906-1992年）説：“代數拓撲學和微分拓撲學由於它們對於所有其它數學分支的巨大影響，應該名副其實地稱為二十世紀數學的女王”。 ^[10] 

拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關係。二十世紀30年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距離概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

拓撲學在泛函分析、李羣論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的應用。 ^[11]