複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/勒貝格測度/8765007
複製
複製成功

勒貝格測度

鎖定
勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者説測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。
中文名
勒貝格測度
外文名
Lebesgue measure
所屬學科
測度論
提出時間
1902年
定    義
賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. 3 歷史
  1. 4 例子
  2. 5 零測集
  3. 6 勒貝格測度的結構
  1. 7 與其他測度的關係

勒貝格測度定義

設P為實線
上所有有界半封閉區間[a,b)類。S為P生成的σ環，其元為實線的博雷爾集。μ為P上集函數，定義為μ([A,b))=b-a，可擴張為S上集函數。若
上的
為S上的μ的完備化，則
的元稱為勒貝格可測集，
稱為勒貝格測度。 [3] 

勒貝格測度性質

上的勒貝格測度有如下的性質 [1]  ：
1. 如果A是區間
的笛卡爾積，那麼A是勒貝格可測的，並且
其中
表示區間I的長度。
2. 如果A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並，那麼A也是勒貝格可測的，並且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數的和）。
3. 如果A勒貝格可測的，那麼它的補集（相對於R）也是可測的。
4. 對於每個勒貝格可測集A，λ(A) ≥ 0 。
5. 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那麼λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。
7. 如果A是一個開集或閉集，且是R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那麼A是勒貝格可測的。
8. 如果A是一個勒貝格可測集，並有 λ(A) = 0 (零測集)，則A的任何一個子集也是零測集。
9. 如果A是勒貝格可測的，x是R中的一個元素，A關於x的平移（定義為
）也是勒貝格可測的，並且測度等於A.
10. 如果A是勒貝格可測的，
，則
關於
的擴張（定義為
）也是勒貝格可測的，其測度為
。
11. 更廣泛地説，設T是一個線性變換，A是一個R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為
。
12. 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續單射函數，則f(A)也是勒貝格可測的。
簡要地説，
的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足
的測度。
勒貝格測度是σ-有限測度。

勒貝格測度歷史

勒貝格在1901年描述勒他的測度，隨後在第二年他描述了勒貝格積分。二者都是作為他在1902年的博士論文的一部分發表的。

勒貝格測度例子

1.如果A是一個區間
， 那麼其勒貝格測度是區間長度
。開區間
的長度與閉區間一樣，因為兩集合的差是零測集。
2. 如果A是區間
和
的笛卡爾積，則它是一個長方形，測度為它的面積
。
3.康托爾集是一個勒貝格測度為零的不可數集的例子。

勒貝格測度零測集

的子集是零測集，如果對於每一個ε > 0，它都可以用可數個n個區間的乘積來覆蓋，其總體積最多為ε。所有可數集都是零測集。
如果
的子集的豪斯多夫維數小於n，那麼它就是關於n維勒貝格測度的零測集。在這裏，豪斯多夫維數是相對於
上的歐幾里得度量（或任何與其等價的利普希茨度量）。另一方面，一個集合可能拓撲維數小於n，但具有正的n維勒貝格測度。一個例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，它的拓撲維數為0，但1維勒貝格測度為正數。
為了證明某個給定的集合A是勒貝格可測的，我們通常嘗試尋找一個“較好”的集合B，與A只相差一個零測集，然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和並集生成。

勒貝格測度勒貝格測度的結構

勒貝格測度的現代結構，基於外測度，是卡拉特奧多里發明的。
固定
，
中的盒子是形如
的集合，其中
。這個盒子的體積
定義為
對於任何
的子集A，我們可以定義它的外測度
：
是可數個盒子的集合，它的並集覆蓋了
。然後定義集合A為勒貝格可測的，如果對於所有集合
，都有：
這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。勒貝格測度定義為λ(A) = λ(A)對於任何勒貝格可測的集合A。
根據維塔利定理，存在實數
的一個勒貝格不可測的子集。如果A是
的任何測度為正數的子集，那麼A便有勒貝格不可測的子集 [2]  。

勒貝格測度與其他測度的關係

在所定義的集合上，博雷爾測度與勒貝格測度是一致的；然而，仍然有更多勒貝格可測的集合不是博雷爾可測的。博雷爾測度是平移不變的，但不是完備的。
哈爾測度可以定義在任何局部緊羣上，是勒貝格測度的一個推廣（帶有加法的
是一個局部緊羣）。
豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一個推廣，對於測量
的維數比n低的子集是很有用的，例如
內的曲線或曲面，以及分形集合。不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數的概念混淆。
可以證明，在無窮維空間不存在勒貝格測度的類似物。
參考資料
  • 1.    [2]第二章 勒貝格測度_百度文庫 https://wenku.baidu.com/view/27e0cad73186bceb19e8bb23.html
  • 2.    [1]吳昊. 基於勒貝格測度與wigner變換的混沌判定方法[J]. 山東工業技術,2013,10:157+181.
  • 3.    Paul R. Halmos．測度論：Springer，1974