集函數

集函數是測度論中定義的概念，是以集類為定義域的函數。

設𝒞是Ω上的一個集類，K是實數域或複數域，稱映射μ:𝒞→K為定義在𝒞上的集函數。

若實值集函數μ的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函數為擴充實值集函數。

設μ是定義在集類𝒞上的擴充實值集函數：

如果對任意A,B∈𝒞，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，則説μ為單調集函數。

如果對任意A,B∈𝒞，A⊂B，B-A∈𝒞，與|μ(A)|＜∞，均有μ(B-A)=μ(B)-μ(A)，則稱μ為減性集函數。 ^[2] 

重要的（數值）集函數有測度、集上的積分等。

若μ為環R上的測度，則μ為單調減性集函數。 ^[2] 

關於集函數，也可引入收斂性等概念。

設{μ_n}是集類𝒞上的集函數列，若對於每個A∈𝒞，數列{μ_n(A)}收斂，則説{μ_n}在𝒞上收斂。若對於每個A∈𝒞，有

，則稱{μ_n}在𝒞上一致收斂於μ。

當K是向量空間或算子集時，分別稱映射μ:𝒞→K為𝒞上的向量值集函數或算子集函數。

常見的這種集函數有向量值測度、譜測度和譜積分等。 ^[1]