擴充實值集函數

集函數是測度論中定義的概念，是以集類為定義域的函數。

設𝒞是Ω上的一個集類，K是實數域或複數域，稱映射μ:𝒞→K為定義在𝒞上的集函數。重要的（數值）集函數有測度、集上的積分等。

若實值集函數的值可允許取+∞或-∞，則稱此集函數為擴充實值集函數。

關於集函數，也可引入單調性、收斂性等概念。

例如，設μ是定義在集類𝒞上的實值集函數，如果對任意A,B∈𝒞，A⊂B，均有μ(A)≤μ(B)，則説μ在𝒞上是單調增加的。

設{μ_n}是集類𝒞上的集函數列，若對於每個A∈𝒞，數列{μ_n(A)}收斂，則説{μ_n}在𝒞上收斂。若對於每個A∈𝒞，有

，則稱{μ_n}在𝒞上收斂於μ。

若對任意ε>0，存在正整數N，當n>N時，對一切A∈𝒞，都有

則稱{μ_n}在𝒞上一致收斂於μ。

當K是向量空間或算子集時，分別稱映射μ:𝒞→K為𝒞上的向量值集函數或算子集函數。

常見的這種集函數有向量值測度、譜測度和譜積分等。 ^[1]