勒貝格積分

勒貝格積分與實變函數論。

集合論的觀點在20世紀初首先引起積分學的變革，從而導致了實變函數論的建立。

1854年黎曼（德，1826－1866年）定義了黎曼積分，19世紀末，分析的嚴格化迫使許多數學家認真考慮所謂“病態函數”，特別是不連續函數、不可微函數的積分問題，如，積分的概念可以怎樣推廣到更廣泛的函數類上？1898年波萊爾（法，1871－1956年）的測度論（1925年曾任法國海軍部長），1902年勒貝格（法，1875－1941年）的博士論文《積分，長度與面積》建立了測度論和積分論，使一些原先在黎曼意義下不可積的函數按勒貝格的意義變得可積了，可以重建微積分基本定理，從而形成一門新的學科：實變函數論。成為分析的“分水嶺”，人們常把勒貝格以前的分析學稱為經典分析，而把以由勒貝格積分引出的實變函數論為基礎而開拓出來的分析學稱為現代分析。

黎曼積分的重要推廣，分析數學中普遍使用的重要工具。

19世紀的微積分學中已經有了許多直觀而有用的積分，例如黎曼積分（簡稱R積分）、黎曼-斯蒂爾傑斯積分（簡稱R-S積分）等。只要相應的函數性質良好，用這些積分來計算曲邊形面積、物體重心、物理學上的功、能等，是很方便的。然而，隨着認識的深入，人們愈來愈經常地需要處理複雜的函數，例如，由一列性質良好的函數組成級數所定義出來的函數，兩個變元的函數對一個變元積分後所得到的一元函數等。在討論它們的可積性、連續性、可微性時，經常遇到積分與極限能否交換順序的問題。

通常只有在很強的假設下才能對這問題作出肯定的回答。因此，在理論和應用上都迫切要求建立一種新的積分，它既能保持R積分的幾何直觀和計算上的有效，又能在積分與極限交換順序的條件上有較大的改善。1902年法國數學家H.L.勒貝格出色地完成了這一工作，建立了以後人們稱之為勒貝格積分的理論，接着又綜合R-S積分思想產生了勒貝格-斯蒂爾傑斯積分（簡稱l－S積分）。20世紀初又發展成建立在一般集合上的測度和積分的理論，簡稱測度論。

在閉區間a和b之間對函數f的積分可以被看作是求f的函數圖像下的面積。對於多項式這樣比較常見的函數來説這個定義簡而易懂。但是對於更加稀奇古怪的函數來説它是什麼意思呢？廣義地來説，對於什麼樣的函數“函數圖像下的面積”這個概念有意義？這個問題的答案具有很大的理論性和實際性意義。

19世紀裏在數學中有把整個數學理論放到一個更加堅固的基礎上的趨勢。在這個過程中數學家也試圖給積分計算提供一個穩固的定義。波恩哈德·黎曼提出的黎曼積分成功地為積分運算提供了一個這樣的基礎。黎曼積分的出發點是構造一系列容易計算的面積，這些面積最後收斂於給定的函數的積分。這個定義很成功，為許多其它問題提供了有用的答案。

但是在求函數序列的極限的時候黎曼積分的效果不良，這使得這些極限過程難以分析。而這個分析比如在研究傅里葉級數、傅里葉變換和其它問題時卻是極其重要的。勒貝格積分能夠更好地描述在什麼情況下積分有極限。勒貝格積分所構造出的容易計算的面積與黎曼積分所構造的不同，這是勒貝格積分更加成功的主要原因。勒貝格的定義也使得數學家能夠計算更多種類的函數的積分。比如輸入值為無理數時函數值為0，輸入值為有理數時函數值為1的狄利克雷函數沒有黎曼積分，但是有勒貝格積分。

以下的介紹是遵循最常見的勒貝格積分的介紹進行的。在這個介紹中積分理論分兩部分：

最初測度理論是用來對歐幾里得空間中直線的長度，以及更廣義地，歐幾里得空間的子集的面積和體積進行仔細分析發展出來的。它尤其可以為R的哪些子集擁有長度這個問題提供一個系統性的回答。後來發展的集合論證明，實際上不可能為 R的所有子集都分配一個長度，且保持天然的可加性和平移不變的性質。因此給出一個合適的，可測量的子集類是一個關鍵的前提。

當然，黎曼積分隱含了長度的概念。事實上計算黎曼積分的元素是[a,b]×[c,d]所組成的長方形，它的面積為(b−a)(d−c)。b−a是這個長方形的寬度，而d−c則是其高度。黎曼只能用平面的長方形來估算曲線下的面積，因為當時還沒有其它適當的理論來測量更一般的集合。

在大多數現代的教科書中測度和積分都是公理性的。也就是説測度是一個定義在集合 E的某些子集組成的集合X上的函數μ，這些子集必須擁有一定的特徵。在許多不同的情況下這些特徵成立。

從一個測度空間(E,X,μ)出發，E是一個集合，X是由 E的子集構成的σ代數，μ是定義在X上的測度。

比如 E可以是一個n維歐幾里得空間R或者它的一個勒貝格可測子集。則X是所有E的勒貝格可測子集構成的σ代數，μ則是勒貝格測度。在討論概率論時，μ是概率空間E中的概率測度，滿足μ( E)=1。

在勒貝格理論中只有對所謂的可測函數才能夠進行積分。一個函數f被稱為是可測的，假如每個區間

的的原像是 E中的可測集合，也就是：

。

可以證明，這與要求R中每個博雷爾子集的原像屬於X的條件是等價的。我們從直接使用第二個條件。可測函數的集合在函數的代數運算下是封閉的，更重要的是在多種逐點序列極限下它們是封閉的：

是可測的，假如原序列

是由可測函數組成的，其中

N。

我們對E上的可測實數值函數 f積分

分步進行構造：

指示函數：與給定的測度μ一致的可測集合 S的指示函數的積分唯一可選擇的值為：

簡單函數：通過對指示函數進行有限線性組合：

這裏係數

是實數，集合

是可測集。這樣的函數稱為可測簡單函數。我們用線性性質將積分延拓到非負的可測簡單函數上。當

非負時，令

在這裏和可能是無限的。一個簡單函數可以通過不同方法的指示函數線性組合形成，但是其積分始終是一致的，這一點可由測度的可加性證明。

假如E是一個可測集合，s是一個可測簡單函數的話則

非負函數： f為 E中的一個非負可測函數，其值可以達到+∞，即 f可以在擴展的實數軸上取任何非負值。我們定義

，其中s是非負的簡單函數，

示零函數，這裏的大小關係是對定義域的每個點都成立。

我們必須證明這個積分與上面定義在簡單函數集合上的積分相符。此外還有這個積分定義是否與黎曼積分的概念有對應關係的問題。事實上可以證明這兩個問題的答案都是肯定的。

這樣我們定義了E中所有非負擴展實值可測的函數f的積分。要注意的是這裏定義的函數積分可以是無限大。

帶負數值的函數：為了解決有負數值的函數，我們還需要添加幾個定義。假設f是可將可測集合E映射到一個實數（包括±∞）的函數的話，則有

其中

請注意

和

都是非負函數。此外

黎曼積分（藍色）和勒貝格積分（紅色） ^[2] 

要直觀地解釋兩種積分的原理，可以假設我們要計算一座山在海平面以上的體積。

黎曼積分是相當於把山分為每塊都是一平方米大的方塊，測量每個方塊正中的山的高度。每個方塊的體積約為1x1x高度，因此山的總體積為所有高度的和。

勒貝格積分則是為山畫一張等高線圖，每根等高線之間的高度差為一米。每根等高線內含有的岩石土壤的體積約等於該等高線圈起來的面積乘以其厚度。因此總體積等於所有等高線內面積的和。

佛蘭德（Folland）總結説，黎曼積分是把分割定義域[a,b]為較小子區間，而勒貝格積分則是分割 f的值域，或者以

這例子來講，黎曼積分是分割 x-軸上的定義域[a,b]，而勒貝格積分是分割 y-軸上的值域。

有理數的指示函數

是一個無處連續的函數。

在區間[0,1]之間

沒有黎曼積分，因為在實數中有理數和無理數都是稠密的，因此不管怎樣把[0,1]分成子區間，每一個子區間裏面總是至少會有一個有理數和一個無理數，因此其達布積分的上限為1，而下限為0。

在區間[0,1]內

有勒貝格積分。事實上它等於有理數的指示函數，因為

是可數集，因此

關於勒貝格測度的積分也可以不通過使用整個測度理論引導出來。一個這樣的方法是使用丹尼爾積分。 ^[3] 

使用泛函分析的方法也可以發展出積分的理論。任何定義在

（或一個固定的開子集）上的緊支撐連續函數 f都有黎曼積分。從這些積分開始，我們可以建立更一般的函數的積分。設

為上所有實數值緊支撐連續函數所構成的空間。定義

的範數為

這樣一來

是一個賦範向量空間（特別地，它是一個度量空間）。所有的度量空間都有豪斯多夫完備性，因此令

為其完備空間。這個空間與勒貝格可積分函數餘積分為零的子空間同構。而且黎曼積分∫關於

上的範數是一致連續的泛函，而

在

是稠密的。因此∫是所有

唯一的延伸。這個積分正好就是勒貝格積分。

這個結果可以被廣泛化來建立關於局部緊空間的拉東測度的積分理論。2004年尼古拉·布爾巴基就是使用了這個方法。

值得指出的是許多拓撲向量空間（比如希爾伯特空間或者巴拿赫空間）中的定理以及其中的極限運算，通過使用勒貝格積分獲得了巨大的簡化。