泛函分析

泛函分析（Functional Analysis）是現代數學的一個分支，隸屬於分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。泛函分析是由對函數的變換（如傅立葉變換等）的性質的研究和對微分方程以及積分方程的研究發展而來的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用於函數的函數。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理論的主要奠基人之一，而數學家兼物理學家維多·沃爾泰拉（Vito Volterra）對泛函分析的廣泛應用有重要貢獻。 ^[1] 

泛函分析所研究的大部分空間都是無窮維的。為了證明無窮維向量空間存在一組基，必須要使用佐恩引理（Zorn's Lemma）。此外，泛函分析中大部分重要定理都構建於罕-巴拿赫定理的基礎之上，而該定理本身就是選擇公理（Axiom of Choice）弱於布倫素理想定理（Boolean prime ideal theorem）的一個形式。 ^[1] 

十九世紀以來，數學的發展進入了一個新的階段。這就是，由於對歐幾里得第五公設的研究，引出了非歐幾何這門新的學科；對於代數方程求解的一般思考，最後建立並發展了羣論；對數學分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統一的觀點把古典分析的基本概念和方法一般化準備了條件。這時候，函數概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數概念是指兩個數集之間所建立的一種對應關係。現代數學的發展卻是要求建立兩個任意集合之間的某種對應關係。

由於分析學中許多新部門的形成，揭示出分析、代數、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數方程求根和微分方程求解都可以應用逐次逼近法，並且解的存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現得就更為突出了。泛函分析的產生正是和這種情況有關，有些乍看起來很不相干的東西，都存在着類似的地方。因此它啓發人們從這些類似的東西中探尋一般的真正屬於本質的東西。

非歐幾何的確立拓廣了人們對空間的認知，n維空間幾何的產生允許我們把多變函數用幾何學的語言解釋成多維空間的映像。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時存在着把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進一步推廣，以至最後把歐氏空間擴充成無窮維數的空間。

20世紀初，瑞典數學家弗列特荷姆和法國數學家阿達瑪發表的著作中，出現了把分析學一般化的萌芽。隨後，希爾伯特和海令哲開創了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數學界已經逐漸形成了一般分析學，也就是泛函分析的基本概念。研究無限維線性空間上的泛函數和算子理論，就產生了一門新的分析數學，叫做泛函分析。在二十世紀三十年代，泛函分析就已經成為數學中一門獨立的學科了。 ^[2] 

泛函分析目前包括以下分支：

軟分析（soft analysis），其目標是將數學分析用拓撲羣、拓撲環和拓撲向量空間的語言表述。

巴拿赫空間的幾何結構，以Jean Bourgain的一系列工作為代表。

非交換幾何，此方向的主要貢獻者包括Alain Connes，其部分工作是以George Mackey的遍歷論中的結果為基礎的。

與量子力學相關的理論，狹義上被稱為數學物理，從更廣義的角度來看，如按照Israel Gelfand所述，其包含表示論的大部分類型的問題。 ^[2] 

由於泛函分析源自研究各種函數空間，在函數空間裏函數列的收斂有不同的類型（譬如逐點收斂，一致收斂，弱收斂等等），這説明函數空間裏有不同的拓撲。而函數空間一般是無窮維線性空間。所以抽象的泛函分析研究的是一般的（無窮維的）帶有一定拓撲的線性空間。

拓撲線性空間的定義就是一個帶有拓撲結構的線性空間，使得線性空間的加法和數乘都是連續映射的空間。 ^[1] 

這是最常見，應用最廣的一類拓撲線性空間。比如有限閉區間上的連續函數空間，有限閉區間上的k次可微函數空間。或者對於每個實數p，如果p ≥ 1，一個巴拿赫空間的例子是“所有絕對值的p次方的積分收斂的勒貝格可測函數”所構成的空間。

在巴拿赫空間中，相當部分的研究涉及到對偶空間的概念，即巴拿赫空間上所有連續線性泛函所構成的空間。對偶空間的對偶空間可能與原空間並不同構，但總可以構造一個從巴拿赫空間到其對偶空間的對偶空間的一個單同態。

微分的概念可以在巴拿赫空間中得到推廣，微分算子作用於其上的所有函數，一個函數在給定點的微分是一個連續線性映射。 ^[1] 

希爾伯特空間可以利用以下結論完全分類，即對於任意兩個希爾伯特空間，若其基的基數相等，則它們必彼此同構。對於有限維希爾伯特空間而言，其上的連續線性算子即是線性代數中所研究的線性變換。對於無窮維希爾伯特空間而言，其上的任何態射均可以分解為可數維度（基的基數為50）上的態射，所以泛函分析主要研究可數維度上的希爾伯特空間及其態射。希爾伯特空間中的一個尚未完全解決的問題是，是否對於每個希爾伯特空間上的算子，都存在一個真不變子空間。該問題在某些特定情況下的答案是肯定的。 ^[1] 

在具體的函數空間上，我們有對函數的各種各樣的操作。最典型的是對函數求導數的操作。這樣的操作一般叫做算子。作為一個拓撲空間之間的映射，我們總可以要求算子是連續映射。對拓撲線性空間上的算子的研究構成了泛函分析的一個很大的分支領域。 ^[1] 

最基本的算子是保持拓撲線性空間結構的算子，稱作線性算子。如果像空間是拓撲線性空間所在的數域（特別的，一個一維拓撲線性空間）那麼這樣的算子成為線性泛函。

在線性算子的理論中有幾個非常基本而重要的定理。

1.一致有界定理（亦稱共鳴定理），該定理描述一族有界算子的性質。

2.罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究瞭如何將一個算子保範數地從一個子空間延拓到整個空間。另一個相關結果是對偶空間的非平凡性。

3.開映射定理和閉圖像定理。

4.譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規算子的一個積分表達，該結果在量子力學的數學描述中起到了核心作用。 ^[1] 

更一般的我們會遇到非線性的算子。最簡單的例子就是各種函數空間上不同的能量泛函。非線性的算子在微分幾何和微分方程理論中都扮演重要的角色，比如極小曲面就是能量泛函的極小點。 ^[1] 

泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類型的函數可以看作是“函數空間”的點或矢量，這樣最後得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數空間。

泛函分析對於研究現代物理學是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自由度的力學系統的運動，實際上需要有新的數學工具來描述具有無窮多自由度的力學系統。比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學系統的例子。一般來説，從質點力學過渡到連續介質力學，就要由有窮自由度系統過渡到無窮自由度系統。現代物理學中的量子場理論就屬於無窮自由度系統。

正如研究有窮自由度系統要求 n維空間的幾何學和微積分學作為工具一樣，研究無窮自由度的系統需要無窮維空間的幾何學和分析學，這正是泛函分析的基本內容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學和微積分學。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學科中。

泛函分析是分析數學中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點的推廣，它綜合函數論、幾何和代數的觀點研究無窮維向量空間上的函數、算子、和極限理論。他在二十世紀四十到五十年代就已經成為一門理論完備、內容豐富的數學學科了。

半個多世紀來，泛函分析一方面以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象，和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間理論、廣義函數論等等；另一方面，它也強有力地推動着其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立羣上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之一。

泛函分析在數學物理方程、概率論、計算數學、連續介質力學、量子物理學等學科有着廣泛的應用。近十幾年來，泛函分析在工程技術方面有獲得更為有效的應用。它還滲透到數學內部的各個分支中去，起着重要的作用。 ^[3]