有理數

“有理數”這一名稱不免叫人費解，有理數並不比別的數更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數”。但是，這個詞來源於古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這裏的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同）。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的“比”。與之相對，“無理數”就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而並非沒有道理。 ^[1] 

有理數為整數（正整數、0、負整數）和分數的統稱 ^[2]  。正整數和正分數合稱為正有理數，負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。由於任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。

有理數a,b的大小順序的規定：如果a-b是正有理數，則稱當a大於b或b小於a，記作a>b或b<a。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。

有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定後，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。一個相關的性質是，僅有理數可化為有限連分數。依照它們的序列，有理數具有一個序拓撲。有理數是實數的（稠密）子集，因此它同時具有一個子空間拓撲。 ^[1] 

有理數的分類按不同的標準有按定義分類、按符號進行分類兩種；按定義分類有理數分為整數、分數；按符號進行分類有理數分為正有理數、0、負有理數。 ^{[2]  [3]}  小數可以化為分數，所以把小數看成分數。 ^[3] 

1、同號兩數相加，取與加數相同的符號，並把絕對值相加。

2、異號兩數相加，若絕對值相等則互為相反數的兩數和為0；若絕對值不相等，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。

3、互為相反數的兩數相加得0。

4、一個數同0相加仍得這個數。

5、互為相反數的兩個數，可以先相加。

6、符號相同的數可以先相加。

7、分母相同的數可以先相加。

8、幾個數相加能得整數的可以先相加。 ^[1] 

減去一個數，等於加上這個數的相反數，即把有理數的減法利用數的相反數變成加法進行運算。 ^[1] 

1、同號得正，異號得負，並把絕對值相乘。

2、任何數與0相乘，都得0。

3、幾個不等於0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定，當負因數有奇數個時，積為負，當負因數有偶數個時，積為正。

4、幾個數相乘，有一個因數為0，積就為0。

5、幾個不等於0的數相乘，首先確定積的符號，然後後把絕對值相乘。 ^[1] 

1、除以一個不等於零的數，等於乘這個數的倒數。

2、兩數相除，同號得正，異號得負，並把絕對值相除。0除以任意一個不等於0的數，都得0。

注意：

0不能做除數和分母。

有理數的除法與乘法是互逆運算。

在做除法運算時，根據同號得正，異號得負的法則先確定符號，再把絕對值相除。若在算式中帶有帶分數，一般先化成假分數進行計算。若不能整除，則除法運算都轉化為乘法運算。 ^[1] 

1、負數的奇數次冪是負數，負數的偶數次冪是正數。例如：（-2）³（-2的3次方）=-8，（-2）²（-2的2次方）=4。

2、正數的任何次冪都是正數，0的任何正數次冪都是0。例如：2²=4，2³=8，₀³=0。

3、0的0次冪無意義。

4、由於乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。

5、1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。 ^[1] 

1、加法交換律：兩個數相加，交換加數的位置，和不變，即 。

2、加法結合律：三個數相加，先把前兩個數相加或者先把後兩個數相加，和不變，即 。

減法運算律：

減法運算律：減去一個數，等於加上這個數的相反數。即：

。

1、乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變，即 。

2、乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數先乘，或者先把後兩個相乘，積不變，即 。

3、乘法分配律：某個數與兩個數的和相乘等於把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加，即：

。

有理數的加、減、乘、除混合運算，如無括號指出先做什麼運算，按照“先乘除，後加減”的順序進行，如果是同級運算，則按照從左到右的順序依次計算。

在代數運算中不當使用除以零可得出無效證明：

。前提

不等於

。

若某數學系統遵從域的公理，則在該數學系統內除以零必須為沒有意義。這是因為除法被定義為是乘法的逆向操作，即

值是方程

中

的解（若有的話）。若設

，方程式

可寫成

或直接

。因此，方程

沒有解（當

時），但是任何數值也可解此方程（當

時）。 ^[1] 

整數，是序列{...，-3，-2，-1，0，1，2，3，...}中所有的數的統稱，包括負整數、零（0）與正整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體Z或，源於德語單詞Zahlen（意為“數”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

Z是一個加法循環羣，因為任何整數都是若干個1或 -1的和。1和 -1是Z僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環羣都與（Z，+）同構。 ^[1]