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絕對值

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絕對值是指一個數在數軸上所對應點到原點的距離，用“| |”來表示。|b-a|或|a-b|表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。
在數學中，絕對值或模數| x | 為非負值，而不考慮其符號，即|x | = x表示正x，| x | = -x表示負x（在這種情況下-x為正），| 0 | = 0。例如，3的絕對值為3，-3的絕對值也為3。數字的絕對值可以被認為是與零的距離。 [1] 
實數的絕對值的泛化發生在各種各樣的數學設置中，例如複數、四元數、有序環、字段和向量空間定義絕對值。絕對值與各種數學和物理環境中的大小，距離和範數的概念密切相關。 [2] 
中文名
絕對值
外文名
absolute value
適用領域
數學
所屬學科
數學
表達式
| a |
提出者
外爾斯特拉斯
提出時間
1841年
符    號
| |
學習時間
高中一年級 初中一年級
關    聯
數軸

目錄

  1. 1 意義
  2. ▪ 幾何意義
  3. ▪ 代數意義
  4. 2 應用舉例
  1. 3 計算機語言
  2. 4 絕對值不等式
  3. 5 無符號數計算
  1. 6 求兩個數的最大值

絕對值意義

絕對值幾何意義

在數軸上，一個數到原點的距離叫做該數的絕對值。
表示數軸上表示a的點和表示b的點的距離。
應用：|5|指在數軸上5與原點的距離，這個距離是5，所以5的絕對值是5。同樣，
指在數軸上表示-5與原點的距離，這個距離是5，所以-5的絕對值也是5。
指數軸上-3和-2點的距離，這個式子值是1。同樣
也表示3和2點的距離。
絕對值 絕對值
絕對值 絕對值

絕對值代數意義

正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數。
實數a的絕對值永遠是非負數，即
。互為相反數的兩個數的絕對值相等，即
（因為在數軸上它們到原點的距離相等）。
若a為正數，則滿足
的x有兩個值±a，如
，則
。 [3] 

絕對值應用舉例

正數的絕對值是它本身；負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值還是0。特殊的零的絕對值既是它的本身又是它的相反數，寫作
。
任何有理數的絕對值都是非負數，也就是説任何有理數的絕對值都大於等於0。
任何純虛數的絕對值是就是虛部的絕對值（如：
）。
當a≥0時，
；
當a<0時，
；
存在
。
兩個負數比較大小，絕對值大的反而小。
一對相反數的絕對值相等。

絕對值計算機語言

計算機語言中，正數的二進制首位（即符號位）為0，負數的二進制首位為1。
32位系統下，4字節數，求絕對值的函數為abs(x)。
無論是絕對值的代數意義還是幾何意義，都揭示了絕對值的以下有關性質：
（1）任何有理數的絕對值都是大於或等於0的數，這是絕對值的非負性。
（2）絕對值等於0的數只有一個，就是0。
（3）絕對值等於同一個正數的數有兩種，這兩個數互為相反數或相等。
（4）互為相反數的兩個數的絕對值相等。
（5）正數和0的絕對值是它本身。
（6）負數的絕對值是它的相反數。
絕對值等式、不等式：
（1）若
，則
（2）
（3）
（4）
這個性質一般用在含絕對值的一元二次方程中。
（5）
由此可以得出推論
，因為

絕對值絕對值不等式

（1）解絕對值不等式必須設法化去式中的絕對值符號，轉化為一般代數式類型來解；
（2）證明絕對值不等式主要有兩種方法：
A）去掉絕對值符號轉化為一般的不等式證明：換元法、討論法、平方法；
B）利用不等式：
，用這個方法要對絕對值內的式子進行分拆組合、添項減項、使要證的式子與已知的式子聯繫起來。 [4] 

絕對值無符號數計算

如果把向南走1公里記為+1，把向北走2公里記為-2，問走了多少公里，計算方法是兩個數的絕對值相加，也就是3公里。如果問相對走了多少公里，計算方法是相對數相加，是-1。
如果題中沒有説什麼是正，如：郵遞員送信先向南10米，再向北5米，做題前必須寫：記什麼為正，一般不用寫另一個，因為不是正就是負，知道一個就行了。 [5] 

絕對值求兩個數的最大值

利用絕對值可以求兩個數中的最大值，公式如下：
參考資料
  • 1.    《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
  • 2.    Bartle; Sherbert; Introduction to real analysis (4th ed.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN 978-0-471-43331-6.
  • 3.    Nahin, Paul J.; An Imaginary Tale; Princeton University Press; (hardcover, 1998). ISBN 0-691-02795-1.
  • 4.    Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999. ISBN 978-0-8218-1646-2.
  • 5.    Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus, McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN 978-0-07-148754-2.