-
同構
鎖定
同構定義
其中自同構定義為:存在E和F兩個集合,且對於E、F各存在一種運算,我們記作(符號可更換)*和·,對於E、F,*、·分別封閉(即對於任意兩個集合內的元素,進行運算之後依然為該集合的元素,詳情見羣論)。我們説f是一個同構當且僅當f∈Γ(E,F) 和f是一個雙射且對於E內的任意元素a,b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F為同一集合E,則説f是一個自同構。
[1]
同構正式表述
同構是在數學對象之間定義的一類映射,它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射,那麼這兩個結構叫做“是同構的”。一般來説,如果忽略同構對象的屬性或操作的具體定義,單從結構上講,同構的對象是完全等價的。
假設M,M′是兩個乘集,也就是説M和M′是兩個各具有一個閉合的結合法(一般寫成乘法)的代數系,σ是M射到M′的雙射,並且任意兩個元的乘積的像是這兩個元的像的乘積,即對於M中任意兩個元a,b滿足σ(a·b)=σ(a)·σ(b);也就是説,當a→σ(a),b→σ(b)時,a·b→σ(a)·σ(b);那麼這映射σ就叫做M到M′上的同構。又稱M與M′同構,記作M~M′。
[2]
同構目的
在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的,那麼其上的對象會有相似的屬性和操作,對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此,如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構,且對於該結構已經證明了很多定理,那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構,那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易,並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。
[2]
同構性質
對於
假定對於代數運算來説
與
同構,那麼對於代數運算來説
與
沒有什麼本質性的區別,只有命名上的不同,若一個集合有一個只於這個集合的代數運算有關的性質,那麼另一個集合有一個完全類似的性質。