環論

“環”是抽象代數研究中的基本對象之一。環和理想的構造在19世紀已為人熟知，並應用在戴德金(Dedekind,R.)和克勞尼克(Kronecker,L.)等關於代數數的著作中。克勞尼克(Kronecker,L.)將環稱為“order”，希爾伯特(Hilbert,D.)才引進了“ring (環)”這一詞。但是抽象的理論是在20世紀發展起來的。至諾德愛米(Noether,N.)將其置於系統化和公理化的基礎上。

環的概念原始雛型是整數集合。它與域不同之處在於對於乘法不一定有逆元素。抽象環論的概念來源一方面是數論，整數的推廣——代數整數具有整數的許多性質，也有許多不足之處，比如唯一素因子分解定理不一定成立，這導致理想數概念的產生。戴德金在1871年將理想數抽象化成“理想”概念，它是代數整數環中的一些特殊的子環。這開始了理想理論的研究，在諾特把環公理化之後，理想理論 ^[2]  被納入環論中去。

環的概念的另一來源是19世紀對數系的各種推廣。這最初可追溯到1843年哈密頓關於四元數的發現。他的目的是為了擴張用處很大的複數。它是第一個“超複數系”也是第一個乘法不交換的線性結合代數。它可以看成是實數域上的四元代數。不久之後凱萊得到八元數，它的乘法不僅不交換，而且連結合律也不滿足，它可以看成是第一個線性非結合代數。其後各種“超複數”相繼出現。

1861年，魏爾斯特拉斯證明，有限維的實數域或複數域上的可除代數，如滿足乘法交換律，則只有實數及複數的代數(1884年發表)。

1870年戴德金也得出同樣結果(1888年發表)。

1878年弗洛賓尼烏斯(F·G·Frobenius，1849—1917)證明實數域上有限維可除代數只有實數、複數及實四元數的代數。

1881年小皮爾斯也獨立得到證明。1958年用代數拓撲學方法證明，實數域上有限維可除代數，連非結合可除代數也算在內，只有1，2，4，8這四種已知維數。可見實數域及複數域具有獨特的性質。

環論的另一來源是代數數論及代數幾何學及它們導致的交換環理論。1871年戴德金引進理想概念，開創了理想理論。環這個詞首先見於希爾伯特的數論報告。代數幾何學的研究促使希爾伯特證明多項式環的基定理。在20世紀初英國數學家臘斯克(E·Lasker，1868—1941)及麥考萊(F·S·Macaulay，1862—1937)對於多項式環得出分解定理。對於交換環的一般研究來源於E·諾特。她對一般諾特環進行公理化，證明準素分解定理從而奠定交換環論乃至抽象代數學基礎，其後克魯爾(W·Krull，1899—1971)給出系統的研究，他還引進了最值得注意的局部環。四十年代，薛華荔、柯恩(I·S·Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O·Zariski，1899—1986)對局部環論進行了系統的研究。

關於域上線性結合代數的研究在19世紀末處於枚舉階段，1870年老皮爾斯(B·Peirce，1809—1880)發表《線性結合代數》，列舉6維以下的線性結合代數162個。他還引進冪零元與冪等元 ^[3]  等重要概念為後來的結構理論奠定基礎。

1898年、嘉當(E·Cartan)在研究李代數的結構基礎上，對於結合代數進行類似的研究，1900年，德國數學家摩林(T·Molien，1861—1941)徵明，複數域上維數≥2的單結合代數都與複數域上適當階數的矩陣代數同構。線性結合代數的結構定理是1907年由美國數學家魏德本(J·HM·Wedderburn，1882—1948)得出的：線性結合代數可以分解為冪零代數及半單代數，而半單代數又可以表示為單代數的直和。單代數可表為域上可除代數的矩陣代數。這樣結合代數就歸結為可除代數的研究。可除代數有着以下的結果。1905年魏德本證明：有限除環都是(交換)域，也即伽羅瓦域。當時除了伽羅瓦域及四元數之外，不知道有別的除環。20世紀雖然發現了一些新的除環，但除環的整個理論至今仍不完善。

從線性結合代數到結合環的過渡是阿廷完成的。1928年，阿廷首先引進極小條件環(即左、右理想滿足降鍵條件的環，後稱阿廷環)，證明相應的結構定理。對於半單環的分類，雅可布孫(N。Jacobson，1910—)創立了他的結構理論。他認為對任意環均可引進根基的概念，而對阿廷環來説，根基就是一組真冪零元。對於非半單的阿廷環(主要出現於有限羣的模表示中)，如福洛賓尼烏斯代數及其推廣也有許多獨立的研究。而與阿廷環對應的是諾特環，對於有麼無的環，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C·H opkins)證明阿廷環都是諾特環。對於諾特環，卻長期沒有相應的結構理論。一直到1958年英國數學家戈爾迪(A·W·Gold－ie)才取得突破，他證明任何諾特半素環都有一個阿廷半單的分式環，這才促進了新研究。與諾特環平行發展的是滿足多項式等式的環。

環表示論及同調方法的應用對結合環理論有極大促進。