理想

環

的一個加法子羣

，如果對於

的兩個乘法運算，滿足條件：

類似地，若

滿足

若

既是

的左理想又是

的右理想，則稱

為

的雙邊理想。 ^[1] 

滿足

的左，右或雙邊理想稱為真理想。

交換環的左右理想不分，通常簡稱

為

的理想。 ^[4] 

任何極大理想都是素理想，任何素理想都是根理想。

任意多理想的交集仍然是理想。因此，定義由環R的子集J生成的理想為(J)=∩{I|J⊆I，I為R的理想}，則J生成的理想為包含J的最小理想。(J)也可以視為J的元素的所有有限R線性組合。若J為有限集，則理想I稱為有限生成的，若I能由J生成。

環同態下任何理想的原像為理想。特別地，環同態的核為理想。 ^[6] 

戴德金環的分式理想全體構成一個乘法阿貝爾羣，由其素理想生成。 ^[2] 

理想概念是斯通（Stone，M.H.）於1934年提出的。 ^[3] 

域K上代數A的理想是A作為環的理想，且同時為A的子模。 ^[5] 

偏序集合

的非空子集

稱為一個理想，當且僅當：

理想最初只在格上定義，這是偏序集上理想的特殊情況。與上述定義等價的定義如下。

格

的非空子集

是理想，當且僅當：

亦稱分式理想，是理想概念的推廣。

整環

，

為其商域（分式域），

是

模。

稱為分式理想，當且僅當

通常的理想（又稱整理想）也是分式理想。

在集合論中，理想是一種特殊的集族。它與濾子相對偶。零S是一非空集，S上的理想F是由S的子集所組成的集族。它滿足下列條件：

1、

，且

；

2、若X∈F，Y∈F，則X∪Y∈F；

3、若Y∈F，且X

Y，則X∈F；

S上的理想F'被稱為素理想，如果對每個X

S，有X∈F'或S-X∈F'。