環

在非空集合R中，若定義了兩種代數運算+和

（不一定為加與乘），且滿足：

1、集合R在+運算下構成阿貝爾羣(Abelian group)。

2、

運算在集合R下滿足結合律，即

，

。R對

構成一個半羣。

3、對+和

有分配律成立，即

，有：

稱代數系統

是一個環(Ring)。在不引起混淆的情況下，簡記為

.

上加法羣的幺元(單位元)稱為零元，記為0，且對

有

.

若

只滿足條件1和條件3，而不滿足條件2的結合律，則R稱為一個非結合環。此時R中就有唯一的零元素θ，使得對α∈R恆有α+θ=α；R中每個α有唯一的負元素-α，使α+（-α）=θ，可簡記α+（-b）為α-b。分配律可推廣為：α（b±с）=αb±αс，（b±с）α=bα±сα；用數學歸納法可證：

在非結合環R中恆有：αθ=θα=θ；α（-b）=（-α）b=-αb；（-α）（-b）=αb；（nα）b=α（nb）=nαb，其中α、b為R中任意元素，n為任意整數。

如果非結合環R還具有性質：

=θ（α∈R），且雅可比恆等式成立，即在R中恆有（αb）с+（bс）α+（сα）b=θ，那麼R稱為一個Lie環。

如果非結合環R的乘法適合交換律，且在R中恆有：（αα）b，α=（αα）（bα），那麼R稱為一個若爾當環。

在非結合環的研究中，李環與若爾當環是內容最豐富的兩個分支。如果非結合環R的乘法適合結合律，那麼R稱為一個結合環或環。如果在環R中再規定如下的一個新乘法“。”（稱為換位運算）：α。b=αb-bα，那麼R對原來的加法與新有的乘法是一個李環；若規定的新乘法為“·”（稱為對稱運算）：α·b=αb+bα，則R便成一個若爾當環。

設S是非結合環R的一個非空子集，若對於R的加法與乘法，S也構成一個非結合環，則S稱為R的一個子環。一個真正的非結合環（即其中有三個元素在相乘時不適合結合律）的一個子環，有可能是一個結合環。非結合環R的若干個子環的交，仍是R的一個子環。當T為R的一個非空子集時，R中所有含T的子環的交顯然是R中含T的最小子環，稱之為R的由T生成的子環。如果非結合環R中任意三個元素生成的子環恆為結合環，那麼R已經是一個結合環；如果R中任意兩個元素生成的子環恆為結合環，那麼R稱為一個交錯環；

如果R中任意一個元素生成的子環恆為結合環，那麼R稱為一個冪結合環。在冪結合環中，第一、第二指數定律即：

恆成立。

如果一個交錯環的乘法還適合交換律，那麼它稱為一個交錯交換環。在交錯交換環中，不僅有第一、第二指數定律成立，而且有第三指數定律即：

（n是任意正整數）成立；還有二項式定理。

結合環與交換環的典型例子如：F上的n階全陣環，即數域（或域）F上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下構成的一個環；V的完全線性變換環，即F上的一個向量空間V的全部線性變換在變換的加法與乘法下構成的一個環；F上的多項式環，即F上一個或若干個文字的多項式全體構成的一個交換環。整數環，即全體整數構成的一個交換環；全體偶數構成它的一個子環，稱為偶數環；R上的n階全陣環，即在任意一個環R上的全部n階矩陣，對於仿通常矩陣的運算定義的加法與乘法構成的環，記為R_n；【0,1】上的全實函數環，即定義在區間【0,1】上的全部實函數，對於函數的加法與乘法構成的一個交換環；整數模n的環

，即模n剩餘類，對於剩餘類的加法和乘法構成的一個交換環。它是隻含有限個元素的交換環的典型例子。

若一個環R中含有一個非零元素e≠θ，使對每個x∈R有ex=xe=x，則e稱為R的一個單位元素。一個環若有單位元素，則它必然是唯一的。設R是一個含有單位元素的環，α是R中一個元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，則b稱為α的一個逆元素。當α有逆元素時，其逆元素必然是唯一的，記為α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即（α-1）-1=α。R的零元素θ必無逆元素。若R的每個非零元素都有逆元素，則R稱為一個體或可除環。四元數代數就是典型的體。在體的定義中再規定其乘法適合交換律，就是域的定義。

設S是環R的一個非空子集，所謂S是R的一個左理想，意即①S是R作為加法羣時的一個子羣；②當α∈S,x∈R時，若有xα∈S，則S稱為R的左理想。若有αx∈S，則S稱為R的右理想。如果S既是R的左理想，又是R的右理想，則稱S是R的一個理想。例如，{θ}是環R的一個理想。

設l₁、l₂都是環R的左理想。R中所有的元素α+b（α∈l₁,b∈l₂）作成R的一個左理想，並稱之為l₁與l₂的和，記為l₁+l₂。R中所有的有限和

作成R的一個左理想，稱為R的左理想l₁與l₂的積，記為l₁l₂。易知R的左理想的加法適合交換律與結合律；R的左理想的乘法適合結合律且對加法有分配律。對於R的右理想的加法與乘法也有類似結果。由於左理想與右理想的對稱性，因此以下關於左理想的討論，對於右理想也適合。

環R的兩個左理想的和的概念可以推廣成若干（有限或無限）個左理想l_i的和l_i，它是由所有的有限和

所構成的。如果這些l_i均非零，而且在l_i中每個元素α=α_i的表法是唯一的，那麼R的這組左理想l_i（i∈i）稱為無關的。環R的兩個左理想的積的概念可以推廣成任意有限多個左理想l₁，L₂，…，l_n的積l₁l₂…l_n。特別，當這些li都是R的同一個左理想L時，此積簡記為l_n。設T是環R的一個非空子集。R中有元素α，它能從左邊去零化T中每個元素即αT={αt|t∈T}是{θ}，例如R中的零元素θ就是這樣一個元素。R中所有這種元素作成R的一個左理想，稱為T在R中的左零化子，或R中的一個左零化子。

如果環R的任意一組左理想中恆存在極小的左理想，那麼環R稱為滿足左極小條件，或降鏈條件。所謂極小左理想，是指一組左理想中的一個左理想，它不能真正的包含組中任何左理想。同理可定義環R的左極大條件（或升鏈條件）以及環R的左零化子的極小與極大條件。由於環R的左零化子僅僅是R的一類特殊的左理想，所以環R的左零化子的極小與極大條件，分別弱於R的左極小與左極大條件。若環R滿足左極大條件，則R中左理想的任何無關組必為有限的。滿足左極小條件的環又稱為左阿廷環；滿足左極大條件的環又稱為左諾特環；一個環滿足條件：①它的左理想的任何無關組恆為有限的；②它的左零化子滿足極大條件，稱為左哥爾迪環。由上述可知，左諾特環恆為左哥爾迪環。

設N是環R的一個理想。首先，R作為一個（交換）加法羣時，則N就是羣R的一個正規子羣。N在R中的全部陪集對於陪集的加法（α+N）+（b+N）=（α+b）+N作成一個（交換）加法羣。其次，規定（α+N）（b+N）=αb+N，這與陪集的代表元素α、b的取法無關。易知陪集的這種乘法，適合結合律且對加法有分配律。於是就得到一個環，並稱之為環R關於其理想N的剩餘類環，記為R/N。它與環R有同態關係。所謂同態，是指對於兩個環R1、R2，有一個從R1到R2上的映射σ：R1→R2，使對任意α·b∈R1恆有σ（α+b）=σ（α）+σ（b），σ（αb）=σ（α）σ（b）。R2是R1在σ下的同態像，記為：

對任意環R及其任意理想N，只要定義σ（α）=α+N就得到R到R/N上的一個同態映射，特稱之為自然同態映射。如果環R1到環R2上的一個同態映射σ，又是一一映射，那麼σ稱為同構映射，記為：

可以證明，如果σ是環R到環R′上的一個同態映射，那麼R中所有滿足σ（α）=θ′∈R′的元素構成R的一個理想N，稱為σ的核，且有R/N≌R′；如果環R滿足左極小（或極大）條件，那麼其任意同態像亦然。

設l是環R的一個左理想，如果有正整數n使ln={θ}，那麼l稱為冪零的。如果對l中每個元素α恆有正整數n（α）使

，那麼l稱為詣零的。顯然冪零左理想必為詣零左理想，但反之則未必。對R的右理想也有相應的定義。

如果P是環R的一個理想，

則P稱為R的一個質理想或素理想。如果環R的零理想{θ}是R的一個質理想，那麼R稱為一個質（素）環。如果環R除{θ}外不再含其他的冪零理想，那麼R稱為一個半質（素）環。質環恆為半質環，但反之則未必。

設R₁,R₂，…，R_m均為環R的非零子環。如果R的每個元素α均可唯一地表為：

且當i≠j時恆有

，那麼R稱為R₁，R₂，…，R_m的環直接和（或簡稱直和），記為：

此時諸R_i均必為環R的理想且R滿足左極小（極大）條件，必要而且只要諸R_i均然。當一個非零的環不能表為兩個以上的非零子環的環直接和時，則稱之為不可分環。例如非零的單純環（即除{θ}與自身外不再含其他理想的環）就是不可分環。

一個非零的環R為左阿廷質環，必要而且只要有體K使

。此時若又有體T使

，則必有T≌K,m=n。這樣的環必為單純環，又稱為阿廷單純環。一個非零的環為左阿廷半質環，必要而且只要它是有限個阿廷單純環的環直接和。這樣的環又稱為阿廷半單純環。一個阿廷半單純環為不可分環，必要而且只要它是阿廷單純環。以上結果統稱為韋德伯恩-阿廷結構定理。設R是任意一個左阿廷環，於是R的詣零左、右理想恆為冪零的；R的所有冪零左理想的和又等於R的所有冪零右理想的和，從而這個和N是R的唯一最大冪零理想，稱為R的根，而且當N＜R時，剩餘類環R/N是阿廷半單純環。

對環R中元素α，如果存在α′∈R，使α+α′+αα′=α+α′+α′α=θ，那麼α稱為擬正則的，而且α與α′互為擬逆。例如，詣零元素α就是擬正則的，當αn=θ時，

。又如整數環中的－2也是擬正則的，其擬逆即－2自己。如果環R的一個左（或右）理想l的每個元素α都是擬正則的（此時α的擬逆α′亦必在l中），那麼l稱為R的一個擬正則左（或右）理想。任意環R中恆存在唯一的最大擬正則理想J，稱為R的雅各布森根，它包含R的所有擬正則左與右理想，且剩餘類環R/J不含非零的擬正則左與右理想。特別，當J={θ}時，R稱為雅各布森半單純環。於是任意環R關於其雅各布森根J的剩餘類環R/J，便恆為雅各布森半單純環。非零的滿足左極小條件的雅各布森半單純環就是阿廷半單純環。

如果在環R中有α≠θ，b≠θ，而αb=θ，那麼α稱為左零因子，b稱為右零因子。一個非零元素如果既非左零因子，又非右零因子，那麼這個非零元素稱為正則元。設Q是一個有單位元素e的環，R是它的一個子環，如果R的每個正則元α在Q中有逆元素α-1，且Q中每個元素β均可表為β=α-1b（其中α、b∈R且α為正則元），那麼Q稱為R的一個左分式環。設R是一個非零的環，則R是哥爾迪質環，必要而且只要R有一個左分式環為阿廷單純環；R是哥爾迪半質環，必要而且只要R有一個左分式環為阿廷半單純環。

所謂環R是一個左奧爾環，即指R含有正則元而且滿足左奧爾條件：對α、b∈R（其中b為正則元），恆有α1、b1∈R（其中b1是正則元）使得b1α=α1b。當環R無零因子時，左奧爾條件即R中任二非零元有共同的非零左倍元。一個環R有左分式環，必要而且只要R是一個左奧爾環。

所謂環R的偏序關係“≤”，是指“≤”在環R的元素之間具有以下性質：

①自反性，即對每個α∈R恆有α≤α；

②傳遞性，即當α≤b，b≤с時有α≤с；

③反對稱性，即當α≤b，b≤α時有α=b；

④如果α≤b，那麼對x∈R恆有α+x≤b+x；

⑤當θ≤α,θ≤b時有θ≤αb。有偏序關係存在的環，稱為偏序環。

在偏序環中，當α≤b，с≤d時，就必有α+с≤b+d；當α≤θ，θ≤b時，就有αb≤θ，bα≤θ；當α≤θ，b≤θ時，就有θ≤αb。在偏序環中，若α≤b且α≠b，則記為α＜b。當θ＜α時則稱α是一個正元素；當b＜θ時則稱b是一個負元素。當α為正元素時，則－α必為負元素；當b為負元素時，則－b必為正元素；當偏序環中無左、右零因子時，就有兩個同號元素（即同為正元素或同為負元素）相乘為正；兩個異號元素相乘為負。如果偏序環R中任意兩個元素α、b均有α≤b或者b≤α，那麼就説R是一個序環。例如整數環在通常數的小於等於關係“≤”下就是一個序環。

環論的發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。

弗羅貝尼烏斯、戴德金、嘉當、哈密頓和T.莫利恩等人是發展超復系理論的主要數學家。

後來，發展成一般域上的代數結構理論，是源於J.H.M.韋德伯恩在1907年發表的著名論文。A.A.阿爾貝特、布饒爾及諾特等人發展與簡化了單純代數理論與算術的理想理論，

在1927年阿廷的論文又把代數結構的主要結果推廣到具極小條件的環上，而成為韋德伯恩-阿廷結構定理。此後對於不具鏈條件的環換成一些拓撲或度量的條件進行研究，如約翰·馮·諾伊曼與F.J.默裏在希爾伯特空間中研究變換環，馮·諾伊曼的正則環理論與蓋爾範德的賦範環論等。

19世紀40年代後，一般環的根理想理論應時而起，迅速發展，其中尤以雅各布森根與半單純環以至本原環理論較為系統而深入。1958年A.W.哥爾迪對具極大條件的環得到了至善的結果。在體論以及非結合環中的若爾當環與雅各布森環的研究，均甚為活躍。