諾特環

諾特環是一個滿足理想的升鏈條件的環；也就是説，給予任何理想的鏈：

存在n，使得：

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想，可以類似地定義左諾特環與右諾特環。

諾特環的不可約理想為準素理想。

諾特環的理想為準素理想的有限交。 ^[5] 

若交換幺環R的所有理想都為有限生成的，則R為諾特環。

任何交替的主理想環都是諾特環，因為這樣一個環的每個理想都是由一個元產生的。特別是，每個主理想整環和每個歐幾里得整環都是諾特環。

戴德金域是諾特環，因為每個理想都由最多兩個元生成。 “Noetherian”來自於Krull-Akizuki定理。發電機數量的範圍是福斯特 - 天鵝定理（或基本環論）的推論。

希爾伯特基定理：如果R是諾特環，則單元多項式環R[X]是諾特環。通過歸納法，n元多項式環R[X₁，...，X_n]是一個諾特環。此外，單元形式冪級數環R[[X]]是諾特環。 ^[4] 

如果R是諾特環，而I是雙邊理想，那麼商環R/I也是諾特環。換句話説，一個諾特環的任何一個彈性環同態的像是諾特環。

在交換性的諾特環上的每個有限生成的交換代數是諾特環。 （從以前的兩個屬性開始）

A是左（右）諾特環當且僅當A在自己的左乘法下形成一個左（右）諾特模。

交換諾特環的每個局部化都是諾特環。

Akizuki-Hopkins-Levitzki定理的結果是每個左阿廷環都是諾特環。另一個後果是，左阿廷環是左諾特環，如果且只有左阿廷環。具有“右”和“左”的類似語句互換也是如此。

一個左諾特環是相干的，左諾特域是一個左側的礦石域。

當且僅當內射（左/右）模的每個直和是內射的，則是（左/右）諾特環。每個內射模可以分解為不可分的內射模的直和。

在一個交換諾特環中，只有極少數的理想。

在諾特整環R中，每個元都可以被分解為不可約元素。因此，如果另外不可約元是素元，則R是唯一因子分解域。

對於非交換環R，有必要區分三個非常相似的概念：

1.如果R滿足左理想的升鏈條件，則R為左諾特環。

2.如果R滿足右理想的升鏈條件，則R是右諾特環。

3.如果R同時是左和右諾特環，則R是諾特環。

對於交換環，這三個概念重合，但一般來説它們是不同的。存在是左諾特環而不是右諾特環的環，反之亦然。

還有另外一個等同的定義，我們給左Noetherian環R一個定義：

1.在R中的每個左邊的理想I有限生成，即在I中存在元素a1，...，an，使得I = Ra1 + ... + Ran。

2.每個非空集合的左邊理想，通過包含部分排序，具有關於集合包含的最大元素。

類似的結果適用於右諾特環。

交換環R是諾特環，則R的每個理想都是有限生成的。 ^[2] 

在數學中，更具體地在抽象代數領域被稱為環論。諾特環(Noetherian ring)是抽象代數中一類滿足升鏈條件的環。希爾伯特首先在研究不變量理論時證明了多項式環的每個理想都是有限生成的，隨後德國數學家埃米·諾特(Emmy Noether)從中提煉出升鏈條件，諾特環由此命名。 ^[1] 

艾美獎環以艾美·諾特（Emmy Noether）命名。由於它在簡化環的理想結構中起着重要的作用，在交換和非交換環理論中，Noetherian環的概念是至關重要的。 例如，整數環和場上的多項式環都是Noetherian環，因此，諸如Lasker-Noether定理，Krull交集定理和希爾伯特基礎定理這樣的定理成立。 此外，如果一個環是Noetherian，那麼它滿足主要理想的下降鏈條件。 這個屬性暗示了從Krull維度的概念開始的Noetherian環的深度的維度理論。

1.整數環Z是一個諾特環，這個事實在通常的證據中被利用，每個非單位整數都可以被至少一個素數整除，儘管它通常被稱為“每個非空的整數集合具有關於可分割性的最小元素”。

2.有限維代數g的包絡代數U是左和右諾特環，這是因為U的相關分次環是Sym(g)的商，是一個域上的多項式環；因此，是一個諾特環。

3.整數或一個字段中有限多個變量的多項式環。

非諾特環往往（在某種意義上）非常大。以下是非諾特環的一些例子：

1.無限多個變量X₁，X₂，X₃等中的多項式環，理想（X₁），（X₁，X₂），（X₁，X₂，X₃）等的序列是上升的，不會終止。

2.代數整數的環不是諾特環。例如，它包含無限上升的主要理想鏈：（2），（21/2），（21/4），（21/8），...

3.從實數到實數的連續函數的環不是諾特環：令In是所有連續函數f的理想，使得對於所有x≥n，f（x）= 0。理想I₀，I₁，I₂等的序列是不終止的上升鏈。

4.穩定同倫羣的球體不是諾特環。然而，非諾特環可以是諾特環的子環。由於任何一個整環都是一個子域，任何不是諾特環的整環都是一個例子。給一個不那麼瑣碎的例子，

5.在域k上由x和y / xn生成的有理函數環是隻有兩個變量的域k(x,y)的子環。

事實上，有一些環是左諾特，但沒有右諾特，所以一個人必須小心測量一個環的“大小”這樣。例如，如果L是與Z同構的

的亞組，則R是從

到自身滿足f（L）⊂L的同態的環。選擇一個基，我們可以描述相同的環R：

這個環是左諾特，但不會右諾特；由a = 0和γ= 0的元素組成的子集I⊂R是沒有有限生成的左R模的左理想。

如果R是左諾特環S的交換子環，S作為左R模有限生成，則R是諾特環。（在S是可交換的特殊情況下，這被稱為Eakin定理）然而，如果R不可交換，則不是這樣：前一段的R環是左諾特環S = Hom（， ），S作為左R模有限生成，但R不是諾特環。

唯一因子分解整環不一定是一個諾特環。 它確實滿足一個較弱的條件：主理想的升鏈條件。

估值環不是諾特環，除非它是主理想整環。 它給出了代數幾何自然產生的環，但不是諾特環的例子。

ℂ為諾特環，故多項式環ℂ[x₁,...,x_n]為諾特環。 ^[4] 

在整數的環Z中，對於某個整數n，任意的理想是（n）的形式（其中（n）表示n的整數倍數的集合）。如果n是非零，並且既不是1也不是-1，通過算術基本定理，存在素數

和正整數

，與

。在這種情況下，理想（n）可以寫成理想

的交點；也就是説，

。這被稱為理想（n）的主要分解。

一般來説，如果Q是左的，並且每當xy∈Q，則某個正整數n的x∈Q或yn∈Q，則認為環的理想Q是主要的。在Z中，主理想恰恰是形式（

）的理想，其中p是素數，e是正整數。因此，（n）的主分解對應於表示（n）作為有限許多主理想的交點。

由於算術的基本定理應用於非零整數n，既不是1也不是-1，也表示了

，對於和為正，n（n）的主要分解基本上是唯一的。

由於上述所有原因，以下定理被稱為拉斯克 - 諾特定理，可以被看作是算術基本定理的某種泛化：

Lasker-Noether定理。讓R成為一個可交換的Noetherian環，讓我成為R的理想。然後我可以寫成有限的許多主要理想與不同的自由基的交集；那是：

對於i≠j，所有i的Qi為主，Rad（Qi）≠Rad（Qj）。 此外，如果：

是對於i≠j，Rad（Pi）≠Rad（Pj）的I的分解，並且I的兩個分解都是非冗餘的（意味着{Q1，...，Qt}或{P1，...的適當子集 ，Pk}產生一個相等於I），t = k和（在可能重新編號Qi之後）的交點Rad（Qi）= Rad（Pi）。 ^[3] 

對於I的任何主要分解，即集合{Rad（Q1），...，Rad（Qt）}由Lasker-Noether定理保持不變。