局部化

交換環R的一個子集S若構成幺半羣，即滿足：(1)R的單位元e∈S，(2)S關於乘法是封閉的。則稱S為乘性子集。在集合R×S={(r,s)|r∈R,s∈S}中定義等價關係：(a,s)~(b,t)↔存在μ∈S,使(at-bs)μ=0。將(a,s)的等價類記為

。在等價類所成集合中規定加法和乘法運算：

則該集合成環，稱為R關於S的局部化。記作

或

，又稱為分式環 ^[6]  。 ^[5] 

一般R不能嵌入

中，但當S是R的所有非零因子集合時，R可以嵌入

中，這時

簡稱為R的分式環。

若R還是整環。取S=R\{0}，則分式環

就是R的商域。

又如R為整數環Z，p為素數，取S=R\(p)，則分式環

是所有表成既約分式時分母與p互素的有理數全體所成的環 ^[3]  。

局部化，是分式環的另一名稱，分式環(fractional ring)全稱為“具有單位元的交換環R關於乘性子集S的分式環”。分式環的造法以及與它相關聯的局部化方法大概是交換代數中最重要的技術性工具．它們相當於在代數幾何圖形裏把注意力集中到一個開子集上或一點的近傍；這些概念的重要性是顯然的 ^[2]  。

定理1 ^[4]  交換環R可嵌人到它的分式環A中，R中非零因子在A中有逆元。若R有非零因子，則A是含單位元的環。

性質：

(1)設p是A的素理想． 那麼它的補集S=A\p是乘法封閉的(事實上A\p是乘法封閉的↔P是素理想)． 這時將

寫作Ap．形如a/s的元素，這裏a∈p，組成A中一個理想m．如果b/t∉ m，那麼b∉p，因此b∈S，於是b/t是Ap中可逆元．由此推出，如a是Ap中的理想而a⊈m，那麼a就含一個可逆元，因而是整個環．因此，m是環An中僅有的極大理想；換句話説，Ap是局部環．從A轉化到Ap的過程叫做在p的局部化．

(2)

是零環↔0∈S。

(3)設f∈A而S={fⁿ)n>0．這時將

寫作Af．

(4)設a是A中任一理想，並且令S=1+a是一切1+x，x∈a，所成的集．顯然S是乘法封閉的 ^[2]  。

(5)若非零環R無零因子，且0不屬於S，則

為整環。

(6)若非零環R無零因子，且S為R中所有非零元的集合，則

為域。 ^[6] 

諾特環的局部化為諾特環。 ^[7]