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不可約元素
鎖定
不可約元素是
抽象代數中的名詞,是指在
整環或者非整環中一個非零、非單位的元素,而且也無法表示為二個不可逆元素的乘積。結一不可約元素和交一不可約元素統稱為不可約元素,當格L為單鏈C時,其所有元素均為不可約元素。
[1]
- 中文名
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不可約元素
- 外文名
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irreducible element
- 應用學科
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代數
- 性 質
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非零非單位元素
- 相關術語
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不可約多項式
- 定 義
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整環中一個非零、非單位的元素
不可約元素定義
不可約元素是抽象代數中的名詞,是指在
整環或者非整環中一個非零、非單位的元素。
不可約元素(irreducible element)一類特殊的元素,是格中的一類非最小元素,格1非最小元素a。若滿足當a=bV時必有a=6或a=c,則稱a為結一不可約元素。簡言之,此類
元素不可能表示為其他二元素之結,對稱地有交一不可約元素,它不可能表示為其他二元素之交。結一不可約元素和交一不可約元素統稱為不可約元素,當格L為單鏈C時,其所有元素均為不可約元素。
[2]
不可約元素與質元素的關係
不可約元素和質元素不同,交換環內的非零、非單位元素
為質元素,表示若在交換環
內存在b及c,使得 a|bc,則 a|b或 a|c必定有一個成立。
[2]
在
整環中,每一個質元素都是不可約元素,但一般而言,不可約元素不會是質元素。只有在
唯一分解整環(或範圍更廣的GCD環)中的不可約元素才一定是質元素。
再者,一個用質元素產生的
理想為
素理想,但由不可約元素產生的理想一般不會是
不可約理想。不過,若D為GCD環,且x為D環中的不可約元素,則產生的理想會是
素理想。
不可約元素應用
證明:交換環中每一個質元素都是不可約元素。
考慮 p為一個可約的質元素: p=ab,則
或
。假如
,則可得
。因為R為整環,因此可得 cb=1。因此b為單位元素,而p是不可約元素。
[1]
不可約元素舉例
這個反例説明並非每一個不可約元素都是質元素。
在二次整數環中,可以用
範數證明 3 是不可約元素。不過,3 不是質元素,因為
- 參考資料
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1.
Yılmaz Ş, Kazancı O. Constructions of triangular norms on lattices by means of irreducible elements[J]. Information Sciences, 2017, 397: 110-117.
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2.
William W. Adams and Larry Joel Goldstein. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Inc. 1976: 250. ISBN 0-13-491282-9.