不可約元素

不可約元素是抽象代數中的名詞，是指在整環或者非整環中一個非零、非單位的元素。

不可約元素(irreducible element)一類特殊的元素，是格中的一類非最小元素，格1非最小元素a。若滿足當a=bV時必有a=6或a=c，則稱a為結一不可約元素。簡言之，此類元素不可能表示為其他二元素之結，對稱地有交一不可約元素，它不可能表示為其他二元素之交。結一不可約元素和交一不可約元素統稱為不可約元素，當格L為單鏈C時，其所有元素均為不可約元素。 ^[2] 

不可約元素和質元素不同，交換環內的非零、非單位元素

為質元素，表示若在交換環

內存在b及c，使得 a|bc，則 a|b或 a|c必定有一個成立。 ^[2] 

在整環中，每一個質元素都是不可約元素，但一般而言，不可約元素不會是質元素。只有在唯一分解整環（或範圍更廣的GCD環）中的不可約元素才一定是質元素。

再者，一個用質元素產生的理想為素理想，但由不可約元素產生的理想一般不會是不可約理想。不過，若D為GCD環，且x為D環中的不可約元素，則產生的理想會是素理想。

證明：交換環中每一個質元素都是不可約元素。

考慮 p為一個可約的質元素： p=ab，則

或

。假如

，則可得

。因為R為整環，因此可得 cb=1。因此b為單位元素，而p是不可約元素。 ^[1] 

這個反例説明並非每一個不可約元素都是質元素。

在二次整數環中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是質元素，因為

但3無法整除

，也無法整除

。