素理想

環R中的理想P如果滿足以下條件就稱作素理想：P≠R，且對R中任意兩個理想A與B，如果AB⊂P，那麼A⊂P或B⊂P。

考慮含幺交換環R： ^[2] 

1.若P為素理想，則對R中任意兩個元a與b，若ab∈P，有a∈P或b∈P；

2. P是R的素理想當且僅當商環

是整環；

3. P是R的極大理想當且僅當商環

是域， 因此極大理想必是素理想；

4.R的理想P(≠R)為素理想，當且僅當R-P為乘性子集。 ^[4] 

5.以下條件是等價的：

①R是域；

②R每一個非零環同態都是單射。

素理想一詞最早可追溯到費馬最後的定理（也稱費馬大定理） 的研究， 即證明著名的費馬方程

，當n>2時沒有非零整數解。 ^[1]  這一問題的研究首先被擴展到n次單位根擴域上--分圓域--來討論。 人們試圖利用類似整數的算術基本定理來證明方程無解，但遺憾的是, 分圓域上算術基本定理不一定成立。 為了彌補這一缺陷，庫莫引入了理想數的概念--即“理想”的雛形。

理想數上有算術基本定理， 既可以唯一分解成素理想的乘積。 這裏的素理想當然就是推廣了整數環中的素數的概念。理想理論後為戴德金所發展，已成為代數數論、交換代數等理論的基礎內容之一。

對於代數閉域 k（比如複數域）上的多項式環R=k[x_1,...x_n]， 希爾伯特基定理指出： 任何理想I總是由有限個多項式生成. 這些多項式定義了n維仿射空間

中的代數簇--即這些多項式方程組的零點集。 代數幾何的基本結論表明, 在所有根理想的集族和所有代數簇的集族之間存在一一對應.

素理想對應着不可約的代數簇. 極大理想對應點。 ^[3] 

1、 R=Ζ是整數環， 我們知道R中任何理想都是主理想，即由一個整數d生成的理想(d)。換言之, 該理想是由d的全體倍數構成的集合，(d)是素理想當且僅當d是素數。

2、R=Q是有理數域， R中的理想只有零理想和R本身， 零理想顯然是素理想。

3、R=F[x]是域F上的多項式環--即係數取自F的多項式全體構成的集合，R中的素理想就是由不可約多項式生成的理想。

理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：

1.∅∈I；

2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I；

3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I；

則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有應用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：

1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與麼元)；

2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I；

3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I；

則稱I為B上的理想。

素理想的概念可以推廣為準素理想： 即其根理想為素理想的那些理想。 準素理想唯一分解定理就是整數中的算術基本定理的推廣。

準素理想是一種特殊的理想。理想論中理想分解的基礎。設Q是交換環R的理想且Q≠R，如果對R中任意元素x，y，xy∈Q且xQ，恆有正整數n，使得yⁿ∈Q，則稱Q是R的準素理想。素理想是準素理想，但素理想的冪未必是準素理想。

數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中佔有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。按現代數學觀點，數學各分支的研究對象或者本身是帶有某種特定結構的集合(如羣、環、拓撲空間)，或者是可以通過集合來定義的(如自然數、實數、函數)。從這種意義上説，集合論可以説是整個現代數學的基礎，至多範疇論除外。

集合論是G.康托爾於19世紀末創立的。20世紀初對集合論的嚴格處理產生了公理集合論，由於對它的研究廣泛採用了數理邏輯工具，集合論(公理集合論)又逐漸成為數理邏輯的一個分支，並從20世紀60年代以來獲得迅速的發展。

集合論是在分析數學的研究中產生的，直接產生於三角級數的研究工作中。1854年黎曼提出，如果函數f(x)在某個區間內除間斷點以外所有點上都能展開為收斂於函數值的三角級數，那麼這樣的三角級數是否唯一?但他沒有回答。1870年海涅證明：當f(x)連續，且它的三角級數展開式一致收斂時，展開式是唯一的。進一步的問題是：什麼樣的例外的點(間斷點)不影響這種唯一性?表述這些例外的點的整體的需要，產生了點集的概念，G.康托爾引入了直線上的一些點集拓撲概念，探討了前人從未碰到過的結構複雜的實數點集。這是集合論的開端。

1874年，G.康托爾越過“數集”的限制，開始一般地提出“集合”的概念。他給集合下了這樣一個定義：把若干確定的有區別的(具體的或抽象的)事物合併起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素，也説它屬於該集合。有了集合概念，就可以定義出一系列有關的概念，集合論就產生了。