-
分圓域
鎖定
目錄
- 4 與費馬最後定理的聯繫
- 5 參見
分圓域介紹
由於與費馬最後定理的聯繫,分圓域在現代代數和數論的研究中扮演着重要的角色。正是因為庫默爾對這些數域上(特別是當p為素數時)的算術的深入研究,特別是在相應整環上唯一分解定理的失效,使得庫默爾引入了理想數的概念,並證明了著名的庫默爾同餘。
分圓域性質
分圓域與正多邊形的聯繫
高斯最早在研究尺規作正多邊形問題時涉及到了分圓域的理論。這個幾何問題實際上可以被轉化為伽羅瓦理論下的敍述:對什麼樣的n,n次分圓域可以通過若干次的二次擴張得到?高斯發現正十七邊形是可以用尺規作出的。更一般地説,對於一個素數p,正p邊形可以用尺規作出當且僅當p為費馬素數。
分圓域與費馬最後定理的聯繫
研究費馬最後定理時,一個很自然的思路是將
分解為
的形式,其中的n是一個奇素數。這樣得到的一次因式都是n次分圓域中的代數整數。如果在n次分圓域中算術基本定理成立,代數整數的素數分解是唯一的,那麼可以通過它來確定方程是否有非平凡解。
然而,對於一般的n,這個結論是錯誤的。但是,庫默爾找到了一個繞過這個困難的辦法。他引進了“理想數”的概念,作為對素數概念的改良。他將代數整數的素數分解不唯一的概念量化為類數:hp,並證明了如果hp不能被p整除(這樣的p被稱為正規素數),那麼費馬的猜想對於n=p是成立的。此外,他給出了庫默爾準則來判斷素數是否是正規的。運用這個準則,庫默爾檢驗了100以下的素數,除了三個“不正規”的:37、59和67。
分圓域參見
- 克羅內克-韋伯定理