伽羅瓦羣

伽羅瓦羣是伽羅瓦理論的一個重要概念。設K是域F的伽羅瓦擴域，K的F自同構羣G(K/F)稱為K/F的伽羅瓦羣。當K為F可分閉包時，G(K/F)稱為F的絕對伽羅瓦羣。若K是F的一個有限次伽羅瓦擴域，則G(K/F)是一個[K∶F]階羣。由於有限次伽羅瓦擴域等同於某一可分多項式的分裂域，因此，若域K是域F上一個可分多項式f(x)的分裂域，則其伽羅瓦羣G(K/F)就稱為f(x)的伽羅瓦羣，從而有限次伽羅瓦擴域的伽羅瓦羣必為某一多項式的伽羅瓦羣。在歷史上，是伽羅瓦(Galois，E.)首先對多項式引入伽羅瓦羣的概念.

數學中，伽羅瓦羣（Groupe de Galois）是與某個類型的域擴張相伴的羣。域擴張源於多項式，通過伽羅瓦羣研究域擴張以及多項式稱為伽羅瓦理論，以發現者法國天才數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦命名。 ^[1] 

假設 E 是域 F 的一個擴張（寫成 E/F，讀做 E 在 F 上，英語：E over F）。考慮所有 E/F 的自同構集合（即同構 α 從 E 到自身使得 α(x) = x 對所有 x 屬於 F）。這個自同構集合與函數複合一起組成一個羣，有時記做 Aut(E/F)。

如果 E/F 是一個伽羅瓦擴張，則 Aut(E/F) 稱為（擴張）E 在 F 上的伽羅瓦羣，通常記做 Gal(E/F)。 ^[2] 

羣是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個羣。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個羣;時針轉動(關於模12加法)，構成一個羣。

滿足交換律的羣，稱為交換羣。

羣是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在羣。例如，可以用研究圖形在變換羣下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換羣對幾何學進行分類。可以説，不瞭解羣，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入羣的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

設K是一個域，設Aut(K)是K的所有自同構做成的集合，在映射覆合之下Aut(K)做成一個羣，稱為K的全體自同構羣。設F是K的子域，令G (K/F) ={σ∈Aut(K)|σ(a)=a，a∈F}，它是Aut(K)的子羣，稱為K的F-自同構羣。設G是Aut(K)的一個子羣，令K= {a∈K|σ(a)=a，σ∈G}，它是K的一個子域，稱為羣G的固定域。G(K/F)也記作GK(F)。設K/F是一個代數擴張，下面3個條件等價： (1) K是F的可分正規擴域。(2)F=K_K(F)。(3)存在G_K(F)的子羣G，使得F=KG。滿足這些條件的F的擴域K稱為F的一個伽羅瓦擴域，K/F稱為伽羅瓦擴張，G_K(F)=G(K/F)稱為K/F的伽羅瓦解。K是F上的有限次伽羅瓦擴域當且僅當K是F上一切可分的不可約多項式乘積的分裂域。設E是伽羅瓦擴張K/F的中間域，則K/E也是伽羅瓦擴張。設K/F是有限次伽羅瓦擴張，G=G(K/F)是K/F的伽羅瓦羣，對於G的子羣H，令E=K是K的固定域，則H↔K給出了G的所有子羣與K/F的所有中間域之間的一一對應。這個結論稱為伽羅瓦理論的基本定理。設K/F是一個域擴張，如果存在K/F的一串中間域F=F₀，F₁，…，F_r=K：使得K，F_i=F_i-1(a_i)，a_ii∈F_i-1，i=1，…，r，其中n_i是一個不能被CharF整除的正整數。設F是一個域，f(x)∈f[x]，方程f(x)=0稱為在F上可以用根號解，如果存在F的一個根號擴域，使得f(x)的全部根都在K中。設K是一個域，t₁，…，t_n是K上的無關未定元，令F=K(t₁，…，t_n)是K上t₁，…，t_n的有理分式域，多項式f(x)=x-t₁x+t₂x-…+(-1)t_n∈F[x]稱為K上n次一般方程，設K是一個特徵為0的域，則K上n次一般方程在F=K(t₁，…，t_n)上可以用根號解當且僅當n≤4。利用伽羅瓦理論基本定理還可以證明x-4x+2=0等方程在有理數域上不能用根號解。 ^[3] 

伽羅瓦理論的一個基本的代數擴張。伽羅瓦擴張是指域的可分正規擴張。若K為域F的代數擴張，則此域擴張為伽羅瓦擴張的充分必要條件為K的F自同構羣G(K/F)的固定域K恰為F；有限次伽羅瓦擴域等同於一個可分多項式的分裂域。

伽羅瓦是法國數學家。生於巴黎郊區布拉倫(Bourg-la-Reine)，卒於巴黎。幼時受到良好的家庭教育.12歲入中學，在數學教師理查德(Richard 1795—1849)指導下研究代數方程可解條件問題，17歲(1828年)高中未畢業便寫出了關於循環連分數及五次方程代數解法的論文。18歲(1829年)中學畢業，同年進入師範學校.他是法國資產階級革命的積極參加者，曾因此被開除學籍並兩次入獄。恢復自由後不久，因政治和愛情的糾葛，在一次決鬥中不幸身亡，年僅21歲。

伽羅瓦短暫的一生，為數學增添了全新的思想，如羣、域概念發展成為了許多新的數學分支。特別是還發現了每個代數方程必有反映其特性的置換羣存在，從而解決了多年不能解決的用根式解代數方程的可能性的判斷問題，創立了“伽羅瓦理論”，併為羣論的建立、發展和應用奠定了基礎。也使他成為了19世紀偉大的數學家之一。

1830年與1831年，伽羅瓦寫出了兩篇關於方程論的重要論文，提交給了法國科學院，但因受權威壓制，未能發表。直到他死後14年，即1846年，法國數學家劉維爾(Liouville，J.)才發現他的遺作的巨大意義，將他的遺稿彙集出版。1870年，法國數學家若爾當(Jordan，M.E.C.)還根據伽羅瓦的思想寫出了《置換與代數方程》一書。 ^[4]