五次方程

陶平生先生認為：羣論是解決該問題的一種很好的方法。

其實，在我們的人教B版高中數學課本《選修3-4對稱與羣》裏，已經説明：

第一，1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數方程通用的求根公式是不存在的；

第二，伽羅瓦證得了5次及其以上方程沒有統一的求根公式；

第三，伽羅瓦能給出恰好有H=S_n的方程，而在羣論裏面很容易證明當n≥5時，S_n不是一個可解羣 。

二次、三次、四次方程的根都可以用它的係數的代數式(即只含有限項的加、減、乘、除和開方五種代數運算的表達式)來表示，五次及五次以上方程到底是否也行，這個問題吸引了眾多的著名數學家，在300多年的時間裏，人們的各種嘗試都失敗了。

後來在18世紀初，保羅·拉尼爾證明了五次方程沒有代數解。過了10年左右，阿貝爾同意相信他的理論並給出了證明。

到了18世紀下半葉，法國數學家拉格朗日總結分析了別人失敗的教訓，也意識到這種用代數方法求解五次方程的公式可能不存在，設想了一種理論上的利用根式求解方程的步驟，但還是碰了壁。

利用一些超越函數，如 theta function 或 Dedekind eta function 即可找到五次方程的公式解。另外，若我們只需要求得數值解，可以利用數值方法（如牛頓迭代法）得到相當理想的解答。

拉格朗日的工作啓發了年輕的阿貝爾(挪威數學家)，中學時期就自學了許多名家的數學著作，進大學後，開始研究五次方程的代數解問題。1824年，他嚴格地證明了高於四次的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，這時他才22歲，尚未大學畢業，但沒有得到別人理解，將論文寄給高斯，也未引起注意，1826年才得以公開發表論文。阿貝爾只是證明了高於四次方程的一般代數方程不可能有一般形式的代數解，沒有指出哪些特殊的方程存在代數解。這個問題後來被法國年輕數學家伽羅瓦所解決，伽羅瓦創設的理論給出了可解性判別準則，並因此而開闢了數學的新領域——羣論。

1770年：拉格朗日詳細考察了人們求解2、3、4次方程的方法，首次意識到5次及其以上方程求根公式可能不存在，雖然他未能證明自己的斷言，但是，他提出的根的置換理論揭示了問題的本質，也是這個問題最後解決所出現的曙光。

1801年：高斯證明分圓多項式-1+x^p（p為素數）可以用根式求解，這使得人們意識到，至少有一部分高次方程是可以根式求解的。

1824年：挪威的一位年輕人阿貝爾證明了：五次代數方程通用的求根公式是不存在的。當然，結合高斯關於分圓多項式的結論，我們知道，接下來的問題是解決，如何判定具體的代數方程是否可根式解。這個問題阿貝爾並沒有回答。

1830年：法國數學天才伽羅瓦徹底解決了5次方程何時可以根式解的問題。可是他的結果已知沒有能夠發表。

1846年：伽羅瓦死後14年，他的這一偉大成果發表，其中首次提出了羣的概念，並最終利用羣論解決了這個世界難題。

1870年：法國數學家若爾當（C. Jordan，1838～1922）根據伽羅瓦的思想撰寫了《論置換與代數方程》一書，人們才真正領略了伽羅瓦的偉大思想。

源引：《普通高中課程標準實驗教科書 數學 選修3-4 對稱與羣》，人教B版

4.4 羣與代數方程根式可解性