有理分式域

有理分式域(field of rational fractions)是指包含多元多項式環的最小域。設

與

是數域P上的兩個n元多項式，

稱為P上的有理分式，亦稱有理函數。與一元多項式的有理分式一樣，可以同樣地定義多元多項式的有理分式的加法與乘法，而且也滿足交換律、結合律與分配律.。數域P上任意兩個有理分式的和、差、積、商(除式不為零)仍為P上的有理分式。因此，P上的全體有理分式的集合構成一個域，稱為數域P上的有理分式域，記為

。

有理分式(rational fraction)是兩多項式相除(作為除數的多項式次數不低於1)的一種表示式，含有除法且除式中含有變數字母的代數式稱為有理分式，簡稱分式。例如，對於變數字母

代數式

是有理分式，但

是整式而不是有理分式，有理分式也可定義為一個多項式與一互素多項式的比

在一個分式中被除式與除式分別稱為這個分式的分子與分母 ^[1]  。

和算術中的分數一樣，有理分式的運算分別定義如下 ^[2]  ：

兩個同分母有理分式

和

相加，只要把分子相加，分母不變：

對於異分母的有理分式相加，需要先進行通分，即把它們化成同分母的有理分式，然後再按同分母的有理分式的加法進行計算，運算的結果一般要化成既約分式：

和分數的加法一樣，有理分式的加法是滿足交換律和結合律的，即：

兩個有理分式

和

相乘，把它們分母的積

做積的分母，把它們分子的積

做積的分子：

當有理分式的分子和分母都是多項式時，先要各自進行因式分解然後再乘，並進行約分。或各自先進行約分，然後再乘。

在乘方運算中，先把有理分式的分子和分母各自因式分解，然後根據乘方法則展開，再求它們的積。

和分數的乘法一樣，有理分式的乘法是滿足交換律結合律以及乘法關於加法的分配律的。

對於任何有理分式

來説，必定存在一個有理分式

，滿足條件

兩個有理分式相減，如果是同分母，只要把分子相減，分母不變；如果是異分母，需要先進行通分，化成同分母的有理分式，然後再按同分母的有理分式相減計算。

在分數里可以把一個假分數化成帶分數。例如把

化成

。同樣，如果一個有理分式是假分式，也總可以把它化成帶分式，使所得的分式中分子的次數低於分母的次數，這樣，在運算過程中，較為簡便。

有理分式的除法和有理分式的減法完全類似。有理分式

中，P不是零多項式， 必定存在一個有理分式

，滿足下列條件：

有理分式的計算題裏，如果有加、減、乘、除的混合運算，和在分數里做混合運算一樣，也是先乘除而後加減 ^[2]  。