多項式

線性空間V上的k次多項式為函數p:V→ℝ，且若ω₁,...,ω_n為V*的基，則存在a_i1,...,ik∈ℝ，對任意v∈V有p(v)=∑a_i1,...,ikωⁱ¹(v),...,ω^ik_n。 ^[3] 

在數學中，多項式（polynomial）是指由變量、係數以及它們之間的加、減、乘、冪運算（非負整數次方）得到的表達式。

對於比較廣義的定義，1個或0個單項式的和也算多項式。按這個定義，多項式就是整式。實際上，還沒有一個只對狹義多項式起作用，對單項式不起作用的定理。0作為多項式時，次數定義為負無窮大（或0）。單項式和多項式統稱為整式。

多項式中不含字母的項叫做常數項。如：5X+6中的6就是常數項。 ^[1] 

給出多項式 f∈R[x₁,...,x_n] 以及一個 R-代數 A。對 (a₁，...，a_n)∈An，f 中的 x_j 都換成 a_j，得出一個 A 中的元素，記作 f(a₁...a_n)。如此， f 可看作一個由 An 到 A 的函數。

若然 f(a₁...a_n)=0，則 (a₁...a_n) 稱作 f 的根或零點。

例如 f=x^2+1。若然考慮 x 是實數、複數、或矩陣，則 f 會無根、有兩個根、及有無限個根！

例如 f=x-y。若然考慮 x 是實數或複數，則 f 的零點集是所有 (x,x) 的集合，是一個代數曲線。事實上所有代數曲線由此而來。

另外，若所有係數為實數多項式 P(x)有複數根Z，則Z的共軌複數也是根。

若P（x）有n個重疊的根，則 P‘(x) 有n-1個重疊根。即若 P(x)=(x-a)^nQ(x)，則有 a 是 P’(x)的重疊根且有n-1個。 ^[2] 

在實際問題中，往往通過實驗或觀測得出表示某種規律的數量關係y=F(x)，通常只給出了F(x)在某些點xi上的函數值yi=F(xi)，i=1，2，…,n+1。即使有時給出了函數F(x)的解析表達式，倘若較為複雜，也不便於計算。因此，需要根據給定點 xi 上的函數值F(xi),求出一個既能反映F(x)的特性，又便於計算的簡單函數ƒ(x)來近似地代替F(x)，此時ƒ(x)稱為F(x)的插值函數；x1,x2,…,xn+1，稱為插值節點。求插值函數的方法，稱為插值法。

多項式是一類簡單的初等函數，而且任給兩組數：b1,b2,…,bn+1和各不相同的 с1,с2,…,сn+1，總有唯一的次數不超過n的多項式ƒ(x)滿足ƒ(сi)=bi，i=1，2，…,n+1。因此在實際應用中常常取多項式作為插值函數。作為插值函數的多項式，稱為插值多項式。插值多項式在計算數學插值中最常用。 ^[2] 

多項式是簡單的連續函數，它是平滑的，它的微分也必定是多項式。

泰勒多項式的精髓便在於以多項式逼近一個平滑函數，此外閉區間上的連續函數都可以寫成多項式的均勻極限。 ^[1] 

代數基本定理是指所有一元 n 次（複數）多項式都有 n 個（複數）根。 ^[2] 

兩個本原多項式的乘積是本原多項式。

應用高斯引理可證，如果一個整係數多項式可以分解為兩個次數較低的有理係數多項式的乘積，那麼它一定可以分解為兩個整係數多項式的乘積。這個結論可用來判斷有理係數多項式的不可約性。關於Q[x]中多項式的不可約性的判斷，還有艾森斯坦判別法：對於整係數多項式，如果有一個素數p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn，且pˆ2不能整除常數項α0，那麼ƒ(x)在Q上是不可約的。由此可知，對於任一自然數n，在有理數域上xn-2是不可約的。因而，對任一自然數n，都有n次不可約的有理係數多項式。 ^[2] 

F[x]中任一個次數不小於1的多項式都可以分解為F上的不可約多項式的乘積，而且除去因式的次序以及常數因子外，分解的方法是惟一的。

當F是複數域C時，根據代數基本定理，可證C[x]中不可約多項式都是一次的。因此，每個復係數多項式都可分解成一次因式的連乘積。

當F是實數域R時，由於實係數多項式的虛根是成對出現的，即虛根的共軛數仍是根，因此R[x]中不可約多項式是一次的或二次的。所以每個實係數多項式都可以分解成一些一次和二次的不可約多項式的乘積。實係數二次多項式αx2+bx+с不可約的充分必要條件是其判別式b2-4αс<0。

當F是有理數域Q時，情況複雜得多。要判斷一個有理係數多項式是否不可約，就較困難。應用本原多項式理論，可把有理係數多項式的分解問題化為整係數多項式的分解問題。一個整係數多項式如其係數是互素的，則稱之為本原多項式。每個有理係數多項式都可表成一個有理數及一個本原多項式的乘積。關於本原多項式有下述重要性質。 ^[2] 

有限的單項式之和稱為多項式。不同類的單項式之和表示的多項式，其中係數不為零的單項式的最高次數，稱為此多項式的次數。

多項式的加法，是指多項式中同類項的係數相加，字母保持不變(即合併同類項)。多項式的乘法，是指把一個多項式中的每個單項式與另一個多項式中的每個單項式相乘之後合併同類項。

F上x1，x2，…，xn的多項式全體所成的集合Fx{1,x2，…,xn}，對於多項式的加法和乘法成為一個環，是具有單位元素的整環。

域上的多元多項式也有因式分解惟一性定理。 ^[1] 

若 f(x)和g(x)是F[x]中的兩個多項式，且g(x)不等於0，則在F[x]中有唯一的多項式 q(x)和r(x)，滿足ƒ(x)=q(x)g(x)+r(x)，其中r(x)的次數小於g(x)的次數。此時q(x) 稱為g(x)除ƒ(x)的商式，r(x)稱為餘式。當g(x)=x-α時，則r(x)=ƒ(α)稱為餘元，式中的α是F的元素。此時帶餘除法具有形式ƒ(x)=q(x)(x-α)+ƒ(α)，稱為餘元定理。g(x)是ƒ(x)的因式的充分必要條件是g(x)除ƒ(x)所得餘式等於零。如果g(x)是ƒ(x)的因式，那麼也稱g(x) 能整除ƒ(x)，或ƒ(x)能被g(x)整除。特別地，x-α是ƒ(x)的因式的充分必要條件是ƒ(α)=0，這時稱α是ƒ(x)的一個根。

如果d(x)既是ƒ(x)的因式，又是g(x)的因式，那麼稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式。如果d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個公因式，並且ƒ(x)與g(x)的任一個因式都是d(x)的因式，那麼稱d(x)是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。如果ƒ(x)=0，那麼g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。當ƒ(x)與g(x)全不為零時，可以應用輾轉相除法來求它們的最大公因式。 ^[1] 

已知一元多項式環F[x]中兩個不等於零的多項式ƒ(x)與g(x)，用g(x)除ƒ(x)得商式q1(x)、餘式r1(x)。若r1(x)=0，則g(x)就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。若 r1(x)≠0，則用 r1(x)除 g(x)得商式q2(x)、餘式r2(x)。若r2(x)=0,則r1就是ƒ(x)與g(x)的一個最大公因式。否則，如此輾轉相除下去,餘式的次數不斷降低，經有限s次之後，必有餘式為零次（即零次多項式）或餘式為零（即零多項式）。若最終餘式結果為零次多項式，則原來f(x)與g(x)互素；若最終餘式結果為零多項式，則原來f(x)與g(x)的最大公因式是最後一次帶餘除法的是除式。

利用輾轉相除法的算法，可將ƒ(x)與g(x)的最大公因式rs(x)表成ƒ(x)和g(x)的組合，而組合的係數是F上的多項式。

如果ƒ(x)與g(x)的最大公因式是零次多項式，那麼稱ƒ(x)與g(x)是互素的。最大公因式和互素概念都可以推廣到幾個多項式的情形。

如果F[x]中的一個次數不小於1的多項式ƒ(x)，不能表成 F[x] 中的兩個次數較低的多項式的乘積，那麼稱ƒ(x)是F上的一個不可約多項式。

任一多項式都可分解為不可約多項式的乘積。

形如 Pn(x)=a(n)x^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a(1)x+a(0)的函數，叫做多項式函數，它是由常數與自變量x 經過有限次乘法與加法運算得到的。顯然，當n=1時，其為一次函數y=kx+b；當n=2時，其為二次函數y=ax^2+bx+c。 ^[1]