數域

設P是由一些複數組成的集合，其中包括0與1，如果P中任意兩個數的和、差、積、商（除數不為0）仍是P中的數，則稱P為一個數域。

常見數域： 複數域C；實數域R；有理數域Q。

（注意：自然數集N及整數集Z都不是數域。）

説明：

1）若數集P中任意兩個數作某一運算的結果仍在P中，則説數集P對這個運算是封閉的。

2）數域的等價定義：如果一個包含0，1在內的數集P對於加法，減法，乘法與除法（除數不為0）是封閉的，則稱數集P為一個數域。

（1）任意數域P都包括有理數域Q；即，有理數域為最小數域。

證明：設P為任意一個數域，由定義可知，

，於是有

，進而有

，而任意一個有理數可表成兩個整數的商，所以

。

（2）設F1及F2是兩個數域，則

也構成一個數域。

數域因為其定義過於廣泛，沒有太好的性質，在數學中的直接應用很少，經常用到的是它的一些子對象，例如：

代數數域，即有理數域

的有限擴張，例如有理數域

和高斯域

。

阿基米德局部域，實數域

和複數域

，它們是代數數域關於通常的絕對值做完備化得到的域。

的代數閉包

。

分圓域

，它是有理數域

的射線類域（ray class field），即所有

的有限阿貝爾擴張均包含在某個分圓域中。它也是代數數域，擴張次數是

的歐拉函數

。 ^[1]