實數域

埃及人早在公元前1000年就開始運用分數了。在公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家們就意識到了無理數存在的必要性。印度人於公元600年左右發明了負數，據説中國也曾發明負數，但稍晚於印度。在1871年，德國數學家康托爾最早地全面地給出了實數的定義。

實數，是一種能和數軸上的點一一對應的數。本來實數只叫作“數”，後來引入的虛數概念，數系擴充到複數系，原本的數便稱作“實數”，意義是“實在的數” ^[1]  。

實數可以分為有理數和無理數兩類，或代數數和超越數兩類，或正數，負數和零。實數集通常用字母R表示。而用 Rn 來代表n維實數空間 （n-dimensional real space）。

實數是可以用來測量連續的量的。實數的個數是無窮的。理論上，任何實數都可以用無限小數的方式表示，小數點的右邊是一個無窮的數列（可以是循環的，也可以是非循環的）。在實際運用中，實數經常被近似成一個有限小數（保留小數點後n位，n為正整數）。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，實數經常用浮點數（floating point numbe）

實數可以不同方式從有理數（即分數）構作出來。設 R 是所有實數的集合，則：集合 R 是一個體：可以作加、減、乘、除、乘方運算，且有如交換律，結合律等運算律。

集合 R 是有序的：設

，則：若

則

若

且

則

。

集合 R 是完整的：設 R 的一個非空的子集S，如果S在R內有上限，那麼S在R內有最小上限。

最後一條是區分實數和有理數的關鍵。例如：所有平方小於2的有理數的集合存在有理數上限， 但是不存在有理數最小上限。實數是唯一適合以上特性的集合：亦即如有兩個如此集合，則兩者之間必存在代數學上所稱的域同構，即代數學上兩者可看作是相同的。

數軸上的任何一點都可以用一個實數來表示，每個實數也對應着數軸上的一個點，可見全體實數正好鋪滿了數軸，這個性質稱為實數的連續性。 ^[2] 

對於任意a，b ∈R，必滿足下述三個關係之一：

(i) a<b

(ii) a=b

(iii) a>b

對任意

，若

，

，則存在正整數n，使得

推論： 任意兩個不相等的實數間必然存在一個有理數（1）。

證明：

設

，且

。由阿基米德性，必存在自然數N，使得

。

任意取定有理數

，由於

，a-γ(0)》0

，故存在

，使得

。可見，數列

中總有一項大於a。

設

為此數列第一個大於α的項，於是

，故

。

即

，而

顯然為有理數，即證。

類似可以證明：任意兩個不相等的實數之間必存在一個無理數。於是有：任意兩個不相等的實數之間必有一個實數。

（1）也可以描述為：在任意一個區間（α,β）內都存在有理數。

由此可見，有理數在實數集中是密集分佈的，但仍有“縫隙”，這些“縫隙”則有無窮多的無理數填滿。

①所有實數的柯西序列都有一個實數極限。

②有理數集並非拓撲完備，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理數的柯西序列卻沒有有理數極限。但它卻有個實數極限 √2。實數集是有理數集的空備化——這亦是其中一個構作實數集的方法。

極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性等價於歐幾里得幾何的直線沒有“空隙”。