-
複數
(數學概念)
鎖定
形如a+bi(a、b均為實數)的數為複數,其中,a被稱為實部,b被稱為虛部,i為虛數單位。複數通常用z表示,即z=a+bi,當z的虛部b=0時,則z為實數;當z的虛部b≠0時,實部a=0時,常稱z為純虛數。
複數域是實數域的代數閉包,即任何復係數多項式在複數域中總有根。
複數歷史
16世紀意大利米蘭學者卡爾達諾(Jerome Cardan,1501年~1576年)在1545年發表的《重要的藝術》一書中,公佈了一元三次方程的一般解法,被後人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家,並且在討論是否可能把10分成兩部分,使它們的乘積等於40時,他把答案寫成
,儘管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的,但他還是把10分成了兩部分,並使它們的乘積等於40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596~1650),他在《幾何學》(1637年發表)中使“虛的數”與“實的數”相對應。從此,虛數才流傳開來。
數系中發現一顆新星——虛數,於是引起了數學界的一片困惑,很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨(1646年~1716年)在1702年説:“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所,它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。然而,真理性的東西一定可以經得起時間和空間的考驗,最終佔有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾(1717年~1783年)在1747年指出,如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算,那麼它的結果總是a+bi的形式(a、b都是實數)。法國數學家棣莫弗(1667年~1754年)在1722年發現了著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關係式,並且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根,首創了用符號i作為虛數的單位。“虛數”實際上不是想象出來的,而它是確實存在的。挪威的測量學家韋塞爾(1745年~1818年)在1797年試圖給於這種虛數以直觀的幾何解釋,並首先發表其作法,然而沒有得到學術界的重視。
18世紀末,複數漸漸被大多數人接受,當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可以看作平面上的一點。數年後,高斯再次提出此觀點並大力推廣,複數的研究開始高速發展。詫異的是,早在1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出這個觀點。
卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上,以當代的標準來看,也是相當清楚和完備的。他又考慮球體,得出四元數並以此提出完備的球面三角學理論。1804年,Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點,即以此來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年,Buée的文章正式出版,同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章,而阿爾岡的複平面成了標準。1831年,高斯認為複數不夠普及,次年他發表了一篇備忘錄,奠定了複數在數學領域的地位。柯西及阿貝爾的努力,掃除了複數使用的最後顧忌,後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了許多著名數學家的注意,包括庫默爾(1844年)、克羅內克(1845年)、Scheffler(1845年、1851年、1880年)、Bellavitis(1835年、1852年)、喬治·皮庫克(1845年)及德·摩根(1849年)。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文,約翰·彼得·狄利克雷將很多實數概念,例如素數,推廣至複數。
德國數學家阿甘得(1777年~1855年)在1806年公佈了複數的圖象表示法,即所有實數能用一條數軸表示,同樣,複數也能用一個平面上的點來表示。在直角座標系中,橫軸上取對應實數a的點A,縱軸上取對應實數b的點B,並過這兩點引平行於座標軸的直線,它們的交點C就表示複數。像這樣,由各點都對應複數的平面叫做“複平面”,後來又稱“阿甘得平面”。1831年,高斯用實數組代表複數,並建立了複數的某些運算,使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞,還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角座標法和極座標法加以綜合。統一於表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中,並把數軸上的點與實數一一對應,擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點,而且還看作是一種向量,並利用複數與向量之間一一對應的關係,闡述了複數的幾何加法與乘法。至此,複數理論才比較完整和系統地建立起來了。
經過許多數學家長期不懈的努力,深刻探討並發展了複數理論,才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗,顯現出它的本來面目,原來虛數不“虛”。虛數成為了數系大家庭中一員,從而實數集才擴充到了複數集。
隨着科學和技術的進步,複數理論已越來越顯出它的重要性,它不但對於數學本身的發展有着極其重要的意義,而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用,並在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。
複數定義
數集拓展到實數範圍內,仍有些運算無法進行(比如對負數開偶數次方),為了使方程有解,我們將數集再次擴充。
在實數域上定義二元有序對z=(a,b),並規定有序對之間有運算“+”、“×”(記z1=(a,b),z2=(c,d)):
z1+z2=(a+c,b+d)
z1×z2=(ac-bd,bc+ad)
容易驗證,這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域,並且對任何複數z,我們有:
z=(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)
令f是從實數域到複數域的映射,f(a)=(a,0),則這個映射保持了實數域上的加法和乘法,因此實數域可以嵌入複數域中,可以視為複數域的子域。
記i=(0,1),則根據我們定義的運算,(a,b)=(a,0)+(0,1)×(b,0)=a+bi,i×i=(0,1)×(0,1)=(-1,0)=-1,這就只通過實數解決了虛數單位i的存在問題。
我們將複數
中的實數a稱為複數z的實部(real part),記作Re z=a;實數b稱為複數z的虛部(imaginary part),記作Im z=b。
當a=0且b≠0時,z=bi,我們就將其稱為純虛數。
複數集是無序集,不能建立大小順序。
複數概念
複數複數的模
即對於複數
,它的模
。
複數共軛複數
在複平面上,表示兩個共軛複數的點關於x軸對稱,而這一點正是“共軛”一詞的來源——兩頭牛平行地拉一部犁,它們的肩膀上要共架一個橫樑,這橫樑就叫做“軛”。
複數複數的輻角
任意一個不為零的複數
的輻角有無限多個值,且這些值相差2π的整數倍。把適合於-π≤θ≤π的輻角θ的值,叫做輻角的主值,記作arg(z)。輻角的主值是唯一的。
指數形式:
。
複數算術性質
交換性(commutativity) 對所有α,β∈C都有α+β=β+α,αβ=βα。
結合性(associativity) 對所有α,β,λ∈C都有(α+β)+λ=α+(β+λ),(αβ)λ=α(βλ)。
單位元(identities) 對所有λ∈C都有λ+0=λ,λ1=λ。
加法逆元(additive inverse) 對每個α∈C都存在唯一的β∈C使得α+β=0。
乘法逆元(multiplicative inverse) 對每個α∈C,α≠0都存在唯一的β∈C使得αβ=1。
複數運算法則
加法法則
複數的加法法則:設z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和,它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。
即
。
乘法法則
複數的乘法法則:把兩個複數相乘,類似兩個多項式相乘,結果中i2=-1,把實部與虛部分別合併。兩個複數的積仍然是一個複數。
即
。
除法法則
複數除法定義:滿足
的複數
叫複數a+bi除以複數c+di的商。
運算方法:將分子和分母同時乘以分母的共軛複數,再用乘法法則運算,
即
(分母實數化)。
開方法則
若
,則
運算律
加法交換律:z1+z2=z2+z1
乘法交換律:z1×z2=z2×z1
加法結合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法結合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法則
i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈Z)
棣莫佛定理
對於複數z=r(cosθ+isinθ),有z的n次冪zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中,n是正整數)
則
複數數系擴充
數學中,對“數量”的研究起於數,一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的有理數和無理數。
具體來講:
由於計數的需要,人類從現實事物中抽象出了自然數0、1、2、3、……,它是數學中一切“數”的起點。
由於自然數對減法運算不封閉(即:較小的自然數減去較大的自然數,其結果不是自然數),為了對減法運算封閉,我們將自然數擴充至整數;
由於整數對除法運算不封閉(即:一個整數不能被另一個整數整除,其結果不是整數),為了對除法運算封閉,我們將整數擴充至有理數;
由於有理數對於開方運算不封閉(即:有理數開正整數次方,其結果可以不是有理數),為了對開方運算封閉,我們將有理數擴充至一部分代數數。“代數數”定義為整係數(或有理係數)一元多項式方程的根,它包括一部分實數和一部分虛數。不是代數數的複數被稱為“超越數”,例如π、e。另外,存在某些代數數,無法利用對有理數進行有限多步的四則運算與開方運算來表示,它們無法表示為關於有理數的代數形式。
另一方面,有理數對於極限運算不封閉,為了對極限運算封閉,我們又將有理數擴充到實數。從而,極限、微積分、無窮級數運算均可以良好操作。也就是説,將定義在實數域上的函數進行極限、定積分、多重積分、無窮級數、無窮積等運算,只要不發散,其化簡結果都在實數範圍之內。
最後,為了避免負數在實數範圍內無法開偶數次方運算,我們將實數擴充到複數。複數是包含實數的最小代數閉域,我們對任意複數進行四則運算、開方,其化簡結果都是複數。
由上述討論可知,有理數與複數有兩種劃分方式:
- {有理數}={整數}∪{分數}={正有理數}∪{零}∪{負有理數},
- {複數}={實數}∪{虛數}={代數數}∪{超越數}。
複數分類
數的分類拓展到複數範圍後,我們對複數範圍的數集做以下分類:
複數(a+bi)——集合符號C | ||||||
— | 實數(複數當b=0時)——集合符號R | |||||
— | — | 有理數——集合符號Q(p/q) | ||||
— | — | — | ①正有理數——集合符號Q+ | |||
— | — | — | — | 正整數——集合符號N+或N* | ||
— | — | — | — | — | 1 | |
— | — | — | — | — | ||
— | — | — | — | — | ||
— | — | — | — | 正分數 | ||
— | — | — | ①0 | |||
— | — | — | ①負有理數——集合符號Q- | |||
— | — | — | — | 負整數——集合符號Z- | ||
— | — | — | — | 負分數 | ||
— | — | — | ②整數——集合符號Z | |||
— | — | — | — | |||
— | — | — | — | |||
— | — | — | ②分數 | |||
— | — | |||||
— | — | — | 正無理數 | |||
— | — | — | 負無理數 | |||
— | 虛數(b≠0) | |||||
— | — | 純虛數(a=0) | ||||
— | — | 混虛數(a≠0) |
注:①②代表對“有理數”兩種不同的分類方式。
複數應用
複數系統分析
在系統分析中,系統常常通過拉普拉斯變換從時域變換到頻域。因此可在複平面上分析系統的極點和零點。分析系統穩定性的根軌跡法、奈奎斯特圖法(Nyquist plot)和尼科爾斯圖法(Nichols plot)都是在複平面上進行的。
無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面,根軌跡法都很重要。如果系統極點位於右半平面,則因果系統不穩定;都位於左半平面,則因果系統穩定;位於虛軸上,則系統為臨界穩定的。如果系統的全部零點和極點都在左半平面,則這是個最小相位系統。如果系統的極點和零點關於虛軸對稱,則這是全通系統。
複數信號分析
其中,ω對應角頻率,複數z包含了幅度和相位的信息。
電路分析中,引入電容、電感與頻率有關的虛部可以方便的將電壓、電流的關係用簡單的線性方程表示並求解。(有時用字母j作為虛數單位,以免與電流符號i混淆。)
複數反常積分
在應用層面,複分析常用以計算某些實值的反常函數,藉由復值函數得出。方法有多種,見圍道積分方法。
複數量子力學
複數相對論
複數應用數學
複數流體力學
複函數於流體力學中可描述二維勢流(2D Potential Flow)。
複數碎形
複數實變初等函數
我們把數學分析中基本的實變初等函數推廣到復變初等函數,使得定義的各種復變初等函數,當z變為實變數x(y=0)時與相應的實變初等函數相同。
注意根據這些定義,在z為任意復變數時,
①哪些相應的實變初等函數的性質被保留下來,
②哪些相應的實變初等函數的性質不再成立,
③出現了哪些相應的實變初等函數所沒有的新的性質。
複數復變指數函數
ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)。
複數複數的三角函數
同理可得aix=cos(xlna)+isin(xlna)=(eix)lna。
藉助eix=cosx+isinx可以方便地證明棣莫佛定理
[2]
。
- 參考資料
-
- 1. 王靜先,王昭海.共軛複數的性質在初等幾何問題中的應用[J].考試周刊,2011,(41):55-56. .萬方數據庫[引用日期2017-08-30]
- 2. 朱傳喜等編.複變函數與積分變換:江西高校出版社,2011.7:50
- 3. 中國礦業大學MOOC《電工技術與電子技術(一)(電工學 上)》模塊四 第2講 正弦量的相量表示法
- 4. (美)Sheldon Axler著;杜現坤,劉大豔,馬晶 譯. 線性代數應該這樣學 第3版[M]. 北京:人民郵電出版社,2016:3.
- 5. 張援農,趙江南,張紹東,袁志剛,嶽顯昌等編.數學物理方法[M].武漢:武漢大學出版社,2017.08:4.