充分必要條件

假設A是條件，B是結論，設C、D分別為A、B所描述對象的集合，則有下列定義和推論：

（1）由A可以推出B，由B可以推出A，則A是B的充分必要條件（此時

）；

（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的充分不必要條件（此時

）；

（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，則A是B的必要不充分條件（此時

）；

（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，則A是B的既不充分也不必要條件（此時

） ^[1]  。

1. A=“三角形的三條邊都相等”；B=“三角形的三個角都相等”。

2. A=“某人觸犯了法律”；B=“應當依照刑法對他處以刑罰”。

3. A=“付了足夠的錢”；B=“買到商店裏的東西”。

例1中A是B的充分必要條件；

例2中A是B的必要不充分條件；（A觸犯法律包含各種法，有刑法有民法；B已經確定是刑法。B屬於A所以A是B的必要不充分條件）

例3中A是B的必要不充分條件；（ A付夠了錢 可以買的是車、房子等；但是B能買到商店裏的東西一定是要付夠錢）

定義：如果有事物情況A，則必然有事物情況B；如果沒有事物情況A，則必然沒有事物情況B，A就是B的充分必要條件。

充分必要條件是邏輯學在研究假言命題及假言推理時引出的。

陳述某一事物情況是另一件事物情況的充分必要條件的假言命題叫做充分必要條件假言命題。充分必要條件假言命題的一般形式是：p當且僅當q。符號為：p←→q(讀作“p等值q”) 。

例如：“三角形等邊當且僅當三角形等角。”是一個充分必要條件假言命題。

根據充分必要條件假言命題的邏輯性質進行的推理叫充分必要條件假言推理。

有命題p、q，如果p推出q且q推出p，則p是q的充分必要條件，簡稱充要條件。

p推出q，p是q的充分條件，同時q是p的必要條件，此時p是q的子集。

例如：a、b一正一負推出ab<0，ab<0推出a、b一正一負，則a、b一正一負和ab<0互為充要條件。

簡單的説就是在證p與q時,前面那個推出後面那個就是充分條件；後面那個推出前面那個就是必要條件；前面能推出後面、後面也能推出前面就是充要條件。

對於“若p則q”形式的命題，如果已知pq，那麼p是q的充分條件，q是p的必要條件。

例如，如果a+i²=-1，則a=0，因此，a+i²=-1是a=0的充分條件，a=0是a+i²=-1的必要條件。（注：i²=-1，i為虛數。）

如果既有p推出q，又有q推出p，則記作p=q，就説p是q的充要條件，也可以説q是p的充要條件，或者若p推出q，但q推不出p，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件。

例如“兩個三角形全等”是“兩個三角形面積相等”的充分不必要條件，|x|=|y|是“x²=y²”的充要條件。

這種推理形式是最常見的。它的大前提的前件是後件的充分條件,後件是前件的必要條件，由於大前提的前後件之間的這種關係，就決定了它有兩種正確式:

肯定式就是大前提是假言判斷，小前提肯定着大前提中作為條件的判斷的真實性，結論則肯定着大前提中作為結果的判斷的真實性。這就是説，在肯定形式中,小前提和結論分別地把大前提中所表現的原因和結果都肯定下來了。肯定式的公式為：如果P，那麼 q；（大前提），P（小前提）；因此，q （結 論）。 ^[2] 

肯定式充分條件的假言推理的規則是：只能由肯定前件而肯定後件；不能由否定前件而否定後件。 ^[3] 

否定式就是大前提是假言判斷，而小前提否定了大前提中作為結果的後件判斷的真實性，從而結論也就否定了大前提中作為條件的前件的真實性。如果 P，那麼 q；（大前提）；不p；（小前提）因此不P（結論）。

否定式充分條件的假言推理的規則是：只能由否定後件而否定前件；不能由肯定後件而肯定前件。 ^[4] 

必要條件的假言推理的大前提是必要條件的假言判斷,它的前件是後件的必要條件，後件是前件的充分條件。

如果把必要條件假言判斷的前後件都加上否定詞，就變成了充分條件假言判斷。根據這個道理，我們可將必要條件的假言推理改變為充分條件的假言推理。因此，在語言實際中必要條件的假言推理是比較少見的。

必要條件的假言推理也有兩種正確式:

必要條件假言推理的肯定式就是:小前提肯定了大前提的後件，結論則肯定了大前提的前件。

肯定式的公式為:只有P，才q;(大前提)，q；(小前提)，因此P。(結論)

肯定式必要條件假言推理的規則：只能由肯定後件而肯定前件；不能由肯定前件而肯定後件。 ^[5] 

必要條件假言推理的否定式就是：小前提否定了大前提的前件，結論則否定了大前提的後件。否定式的公式為：只有P，則 q（大前提）；不P（小前提）；因此，不q（結 論）。

否定式必要條件假言推理的規則是：只能由否定前件而否定後件；不能由否定後件而否定前件。 ^[6] 

充分必要條件的假言推理是大前提的前件和後件互為充分和必要條件。這種假言推理的邏輯關係很簡單，只要肯定前件和後件，就能肯定後件和前件；只要否定前件和後件，就能否定後件和前件。因此，充分必要條件的假言推理，有四個正確式：

（1）如果P，那麼q；P；因此，q。

（2）如果不P，那麼不q；不P；因此，不q。

（3）如果P，那麼q；q；因此，p。

（4）如果不P，那麼不q；不q；因此，不P。

充分和必要條件的假言推理可以用兩個假言前提來表述，一個前提表示充分條件，一個前件表示必要條件,小前提肯定或否定任何一個前提或後件，結論就肯定或否定相應的後件或前件。 ^[7] 

在公元前6世紀，古希臘思想家們已經開始研究邏輯推理的概念，活躍的國家政治生活鼓勵人們開展討論和發展辯論的技巧。如伊利亞學派的巴門尼德（Parmenniddes，公元前6世紀後期）及其弟子芝諾（Zeno，公元前5世紀）的著作詳細地描述了各種辯論技巧，如“歸謬法（reductio and absurdum）—假定要證明的命題不成立從而引出矛盾；否定後件律（modus tollens）—先證明若A正確，則B也正確，然後證明B不正確，結論是A也不正確。”

亞里士多德認為，邏輯論證應建立在三段論（syllogism）的基礎上，三段論指的是由所陳述的事情，必定可得出另外的某些結論的論證過程。 ^[8]