數論：從漢穆拉比到勒讓德的歷史導引

數論——或者一些人稱之為的算術，是最古老、最純粹、最有活力、最初等卻也是最深奧的數學領域。這門學科具有“數學皇后”的名聲絕非偶然。一些最為複雜的傳統的數學思想便是由對數論的基本問題的研究發展起來的。 ^[1]  對數論有傑出貢獻的韋伊，寫成了詮釋數論歷史的這《數論:從漢穆拉比到勒讓德的歷史導引》；他的研究內容涵蓋了大約三十六個世紀的算術工作——從一塊可追溯到漢穆拉比王朝的古巴比倫的泥板到勒讓德的《論數論》（1798）。韋伊一直希望向有較好教育背景的讀者講述他的研究領域，這促使他在問題的分析、數論方法的演變以及它們在數學中的意義方面使用了歷史性的解讀方法。在他的論述過程中，韋伊和讀者一起來到現代數論的四位主要作者（費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德）的工作室，並在那裏進行了一場仔細的、帶有批判眼光的查驗。《數論:從漢穆拉比到勒讓德的歷史導引》富含知識史的廣博內容，對了解我們的文化遺產有很重要的貢獻。

作者：（法國）韋伊（André Weil） 譯者：胥鳴偉 叢書主編：丘成桐 註釋 解説詞：王元

A.韋伊（Andre Weil，1906-1998），二十世紀最有影響的數學家之一，是法國著名的布爾巴基學派的創立者和領導者之一。他的主要貢獻在代數幾何、數論、羣論、數學史等領域，在1979年因其“把代數幾何引入數論的令人振奮的工作”獲得沃爾夫獎。

韋伊的許多著作均屬數學經典，其中包括《代數幾何基礎》（Foundations of Algebraic Geometry，1946）、《基礎數論》（Basic Number Theory，1967）、《拓撲羣及其應用導論》（Lintegrationdans les Groupes Topologiques et ses Appfications，1940）以及本書等。

《數學翻譯叢書》序

前言

插圖目錄

縮寫、基本參考文獻以及記號

第一章 原史時期的數論

1.1 引子

1.2 素數和因數分解

1.3 完全數

1.4 一次問題

1.5 畢達哥拉斯三角形

1.6 兩個平方數的和

1.7 斐波那契和《平方數》

1.8 關於佩爾（Pell）方程的早期工作

1.9 佩爾方程：阿基米德和印度人

1.10 丟番圖與丟番圖方程

1.11 丟番圖及平方和

1.12 丟番圖的復甦：韋達與巴歇

第二章 費馬和他的信件

2.1 生平

2.2 二項式係數

2.3 證明與“歸納”的相較

2.4 完全數與費馬定理

2.5 最初的探索

2.6 對二次剩餘的初次嘗試

2.7 兩個平方數和的素因子

2.8 兩個平方數之和

2.9 由兩個平方數和表示的數

2.10 無限下降法以及方程x4-y4=z2

2.11 費馬成熟時期的問題

2.12 “初等”二次型

2.13 佩爾方程

2.14 二次不定方程

2.15 對虧格1的方程的追本溯源

2.16 再論下降法

2.17 結論

附錄I 歐幾里得二次域

附錄II 射影空間中的虧格1曲線

附錄III 作為空間四次曲線的費馬的“二重方程”

附錄Ⅳ 下降法與莫德爾定理

附錄V 方程y2=x3-2x

第三章 歐拉

3.1 十六世紀、十七世紀和十八世紀的科學活動

3.2 歐拉的生平

3.3 歐拉與哥德巴赫

3.4 歐拉關於數論的發現

3.5 角色一覽表（Dramatis personae）

3.6 模Ⅳ的乘法羣

3.7 “實”對“虛”

3.8 錯失二次互反律

3.9 二元二次型

3.10 搜尋大素數

3.11 四平方數之和

3.12 平方根與連分式

3.13 二次丟番圖方程

3.14 再論丟番圖方程

3.15 橢圓積分和加法定理

3.16 作為丟番圖方程的橢圓曲線

3.17 求和公式以及∑n

3.18 歐拉和函數

3.19 三角函數

3.20 函數的函數方程

3.21 數的分拆（Partitio numerorum）與模函數

3.22 結論

附錄I 二次互反律

附錄II 對平方和問題的一個初等證明

附錄III 橢圓曲線的加法定理

第四章 過渡時期：拉格朗日與勒讓德

4.1 拉格朗日的生平

4.2 拉格朗日與數論

4.3 不定方程

4.4 拉格朗日的二元二次型理論

4.5 勒讓德的生平

4.6 勒讓德的算術工作

附錄I 三元二次型的哈塞（Hasse）原理

附錄II 關於正二元二次型的勒讓德的證明

附錄III 拉格朗日關於不定二元二次型的一個證明

補充參考文獻

譯後記

王元先生給譯者的信

人名索引

內容索引