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整環
鎖定
個非平凡的環R稱為一個整環,假如滿足以下要求乘法適合交換律,ab=baR沒有零因子,ab=Ota=0或b=0。這裏6可以是R的任意元。換句話説,一個無零因子的非平凡交換環稱為整環。整數環顯然是一個整環。
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整環是抽象代數中最基本的概念之一。對任意的a,b屬於環R,假如1、乘法適合交換律ab=ba;2、R有單位元e;3、R沒有零因子ab=0可得a=0或b=0,則R是整環。
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- 中文名
- 整環
- 外文名
- integral domain
- 所屬學科
- 環論
- 概 念
- 一個非零環R
- 運 算
- +和*
整環定義
整環是無零因子的交換幺環。
整環性質
整環例子
整環商域
我們知道有理數域
,它是由所有整數的商(除數不為0)構成的集合。一下將仿照由整數構造有理數的方法,由任意一個整環,構造一個包含該整環的域。通常稱這種構造方法為局部化方法。
命題1,設R是一個整環,令
。在
上定義關係(即“分數相等規則”):
則
是
的等價關係。
命題2,記號同上,利用整環R的運算,在集合
上定義兩個運算:
則
是域。
定義1,上述構造的域F稱為整環R的商域,或稱為整環R的分式域。
定理1,整環R的商域F是包含R的最小域。
整環相關概念
定義3,設a,b是環
中的兩個非零元素。
整環環
一個環是一個集合 A 以及它上面的兩種運算,分別稱為+和*,滿足以下條件:
1、A 關於加法成為一個 Abel 羣(其零元素記作 0);
2、乘法滿足結合律:(a * b) * c = a * (b * c);
3、乘法對加法滿足分配律:a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c;
如果環 A 還滿足以下乘法交換律,則稱為“交換環”:
4、乘法交換律:a * b = b * a。
如果交換環 A 還滿足以下兩條件,就稱為“整環”(integral domain):
5、A 中存在非零的乘法單位元,即存在 A 中的一個元素,記作e,滿足:e 不等於 0,且對任意 a,有:e* a = a * e= a;
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例:
1、整數環是整環。
2、整環上的多項式環仍是整環。
3、當 n>1 時,任意環上的n階矩陣環不是整環。
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